MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Unicode version

Theorem ioorinv2 21060
Description: The function  F is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
ioorinv2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 11396 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
ran  (,)
2 ioorf.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
32ioorval 21059 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  ran  (,)  ->  ( F `  ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. ,  <. sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )
)
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( F `
 ( A (,) B ) )  =  if ( ( A (,) B )  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
5 ifnefalse 3806 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>. )
6 n0 3651 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( A (,) B
) )
7 eliooxr 11359 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
87exlimiv 1688 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
96, 8sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
109simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  A  e.  RR* )
119simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  B  e.  RR* )
12 id 22 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
13 df-ioo 11309 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
14 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
15 xrltle 11131 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
16 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
17 xrltle 11131 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 11327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
1910, 11, 12, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 11326 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2110, 11, 12, 20syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
2219, 21opeq12d 4072 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  <. sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. A ,  B >. )
235, 22eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  if (
( A (,) B
)  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) >. )  =  <. A ,  B >. )
244, 23syl5eq 2487 1  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( F `  ( A (,) B
) )  =  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   (/)c0 3642   ifcif 3796   <.cop 3888   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ran crn 4846   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   0cc0 9287   RR*cxr 9422    < clt 9423   (,)cioo 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-ioo 11309
This theorem is referenced by:  ioorinv  21061  ioorcl  21062
  Copyright terms: Public domain W3C validator