Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Unicode version

Theorem ioorinv 21192
 Description: The function is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1
Assertion
Ref Expression
ioorinv
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11507 . . . 4
2 ffn 5670 . . . 4
3 ovelrn 6352 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9
65ioorinv2 21191 . . . . . . . 8
76fveq2d 5806 . . . . . . 7
8 df-ov 6206 . . . . . . 7
97, 8syl6eqr 2513 . . . . . 6
10 df-ne 2650 . . . . . . . 8
11 neeq1 2733 . . . . . . . 8
1210, 11syl5bbr 259 . . . . . . 7
13 fveq2 5802 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5806 . . . . . . . 8
15 id 22 . . . . . . . 8
1614, 15eqeq12d 2476 . . . . . . 7
1712, 16imbi12d 320 . . . . . 6
189, 17mpbiri 233 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2019rexlimivv 2952 . . 3
214, 20sylbi 195 . 2
22 ioorebas 11511 . . . . . . 7
235ioorval 21190 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
25 iooid 11442 . . . . . . 7
2625iftruei 3909 . . . . . 6
2724, 26eqtri 2483 . . . . 5
2827fveq2i 5805 . . . 4
29 df-ov 6206 . . . 4
3028, 29eqtr4i 2486 . . 3
3125eqeq2i 2472 . . . . . 6
3231biimpri 206 . . . . 5
3332fveq2d 5806 . . . 4
3433fveq2d 5806 . . 3
3530, 34, 323eqtr4a 2521 . 2
3621, 35pm2.61d2 160 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  wrex 2800  c0 3748  cif 3902  cpw 3971  cop 3994   cmpt 4461   cxp 4949  ccnv 4950   crn 4952   wfn 5524  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203  csup 7804  cr 9395  cc0 9396  cxr 9531   clt 9532  cioo 11414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-ioo 11418 This theorem is referenced by:  uniioombllem2  21199
 Copyright terms: Public domain W3C validator