Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Unicode version

Theorem ioorinv 22470
 Description: The function is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 inf
Assertion
Ref Expression
ioorinv
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11683 . . . 4
2 ffn 5689 . . . 4
3 ovelrn 6403 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 inf
65ioorinv2 22469 . . . . . . . 8
76fveq2d 5829 . . . . . . 7
8 df-ov 6252 . . . . . . 7
97, 8syl6eqr 2480 . . . . . 6
10 df-ne 2601 . . . . . . . 8
11 neeq1 2663 . . . . . . . 8
1210, 11syl5bbr 262 . . . . . . 7
13 fveq2 5825 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5829 . . . . . . . 8
15 id 22 . . . . . . . 8
1614, 15eqeq12d 2443 . . . . . . 7
1712, 16imbi12d 321 . . . . . 6
189, 17mpbiri 236 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2019rexlimivv 2861 . . 3
214, 20sylbi 198 . 2
22 ioorebas 11687 . . . . . . 7
235ioorval 22468 . . . . . . 7 inf
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 inf
25 iooid 11615 . . . . . . 7
2625iftruei 3861 . . . . . 6 inf
2724, 26eqtri 2450 . . . . 5
2827fveq2i 5828 . . . 4
29 df-ov 6252 . . . 4
3028, 29eqtr4i 2453 . . 3
3125eqeq2i 2440 . . . . . 6
3231biimpri 209 . . . . 5
3332fveq2d 5829 . . . 4
3433fveq2d 5829 . . 3
3530, 34, 323eqtr4a 2488 . 2
3621, 35pm2.61d2 163 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wrex 2715  c0 3704  cif 3854  cpw 3924  cop 3947   cmpt 4425   cxp 4794   crn 4797   wfn 5539  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  csup 7907  infcinf 7908  cr 9489  cc0 9490  cxr 9625   clt 9626  cioo 11586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-ioo 11590 This theorem is referenced by:  uniioombllem2  22482
 Copyright terms: Public domain W3C validator