Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorfOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ioorfOLD 22609
 Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) Obsolete version of ioorf 22604 as of 13-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorfOLD.1
Assertion
Ref Expression
ioorfOLD

Proof of Theorem ioorfOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorfOLD.1 . 2
2 ioof 11757 . . . 4
3 ffn 5739 . . . 4
4 ovelrn 6464 . . . 4
52, 3, 4mp2b 10 . . 3
6 0le0 10721 . . . . . . . . 9
7 df-br 4396 . . . . . . . . 9
86, 7mpbi 213 . . . . . . . 8
9 0xr 9705 . . . . . . . . 9
10 opelxpi 4871 . . . . . . . . 9
119, 9, 10mp2an 686 . . . . . . . 8
12 elin 3608 . . . . . . . 8
138, 11, 12mpbir2an 934 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
15 simplr 770 . . . . . . . . . 10
1615supeq1d 7978 . . . . . . . . 9
17 simplll 776 . . . . . . . . . 10
18 simpllr 777 . . . . . . . . . 10
19 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
2019neqned 2650 . . . . . . . . . . 11
2115, 20eqnetrrd 2711 . . . . . . . . . 10
22 df-ioo 11664 . . . . . . . . . . 11
23 idd 24 . . . . . . . . . . 11
24 xrltle 11471 . . . . . . . . . . 11
25 idd 24 . . . . . . . . . . 11
26 xrltle 11471 . . . . . . . . . . 11
2722, 23, 24, 25, 26ixxlbOLD 11683 . . . . . . . . . 10
2817, 18, 21, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
2916, 28eqtrd 2505 . . . . . . . 8
3015supeq1d 7978 . . . . . . . . 9
3122, 23, 24, 25, 26ixxub 11681 . . . . . . . . . 10
3217, 18, 21, 31syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
3330, 32eqtrd 2505 . . . . . . . 8
3429, 33opeq12d 4166 . . . . . . 7
35 ioon0 11687 . . . . . . . . . . . 12
3635ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
3721, 36mpbid 215 . . . . . . . . . 10
38 xrltle 11471 . . . . . . . . . . 11
3938ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9
41 df-br 4396 . . . . . . . . 9
4240, 41sylib 201 . . . . . . . 8
43 opelxpi 4871 . . . . . . . . 9
4443ad2antrr 740 . . . . . . . 8
4542, 44elind 3609 . . . . . . 7
4634, 45eqeltrd 2549 . . . . . 6
4714, 46ifclda 3904 . . . . 5
4847ex 441 . . . 4
4948rexlimivv 2876 . . 3
505, 49sylbi 200 . 2
511, 50fmpti 6060 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   cin 3389  c0 3722  cif 3872  cpw 3942  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cioo 11660 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664 This theorem is referenced by:  ioorclOLD  22613  uniioombllem2OLD  22620
 Copyright terms: Public domain W3C validator