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Theorem ioorcl2 22409
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3777 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 11666 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 10046 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 11693 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 10442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
15 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
16 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
17 ovolge0 22319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) )
19 lep1 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2114, 15, 5, 18, 20letrd 9791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
223, 5subge02d 10204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2321, 22mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
24 ovolioo 22406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
256, 3, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
263recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
275recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2826, 27nncand 9990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2925, 28eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
31 iooss1 11671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3210, 31sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
339simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
34 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
37 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3811, 33, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
3936, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
40 iooss2 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4133, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4332, 42sstrd 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
44 ovolss 22323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
4543, 16, 44sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4630, 45eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4746ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
48 xrlenlt 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
4910, 7, 48syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
505, 15lenltd 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5147, 49, 503imtr3d 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5213, 51mt4d 143 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5335simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
54 xrre2 11465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
557, 10, 11, 52, 53, 54syl32anc 1272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
563, 5readdcld 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5756rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
583, 5addge01d 10200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
5921, 58mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
60 ovolioo 22406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
613, 56, 59, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6226, 27pncan2d 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6361, 62eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
65 iooss2 11672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6633, 65sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
67 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6810, 11, 67syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
6953, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
70 iooss1 11671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7110, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7366, 72sstrd 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
74 ovolss 22323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7573, 16, 74sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7664, 75eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7776ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
78 xrlenlt 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
7957, 33, 78syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8077, 79, 503imtr3d 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8113, 80mt4d 143 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
82 xrre2 11465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8311, 33, 57, 36, 81, 82syl32anc 1272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8455, 83jca 534 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8584ex 435 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8685exlimiv 1769 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
871, 86sylbi 198 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8887imp 430 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   (,)cioo 11635   vol*covol 22298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-rest 15284  df-topgen 15305  df-psmet 18901  df-xmet 18902  df-met 18903  df-bl 18904  df-mopn 18905  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-cmp 20337  df-ovol 22301  df-vol 22303
This theorem is referenced by:  ioorcl  22414  ioorclOLD  22419
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