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Theorem ioorcl2 21744
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 11559 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 11583 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0red 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
16 ioossre 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
17 ovolge0 21655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
1816, 17mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) )
19 lep1 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2114, 15, 5, 18, 20letrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
223, 5subge02d 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2321, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
24 ovolioo 21741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
256, 3, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
263recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
275recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2826, 27nncand 9935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2925, 28eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
31 iooss1 11564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3210, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
339simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
34 eliooord 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
37 xrltle 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3811, 33, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
3936, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
40 iooss2 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4133, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4332, 42sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
44 ovolss 21659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
4543, 16, 44sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4630, 45eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
48 xrlenlt 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
4910, 7, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
505, 15lenltd 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5147, 49, 503imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5213, 51mt4d 138 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5335simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
54 xrre2 11371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
557, 10, 11, 52, 53, 54syl32anc 1236 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
563, 5readdcld 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5756rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
583, 5addge01d 10140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
5921, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
60 ovolioo 21741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
613, 56, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6226, 27pncan2d 9932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6361, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
65 iooss2 11565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6633, 65sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
67 xrltle 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6810, 11, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
6953, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
70 iooss1 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7110, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7366, 72sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
74 ovolss 21659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7573, 16, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7664, 75eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
78 xrlenlt 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
7957, 33, 78syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8077, 79, 503imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8113, 80mt4d 138 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
82 xrre2 11371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8311, 33, 57, 36, 81, 82syl32anc 1236 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8455, 83jca 532 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8584ex 434 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8685exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
871, 86sylbi 195 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8887imp 429 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   (,)cioo 11529   vol*covol 21637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-ovol 21639  df-vol 21640
This theorem is referenced by:  ioorcl  21749
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