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Theorem ioorcl2 21051
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3645 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( A (,) B
) )
2 elioore 11329 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR )
4 peano2re 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  RR )
63, 5resubcld 9775 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
76rexrd 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
8 eliooxr 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
113rexrd 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  RR* )
12 ltp1 10166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
14 0red 9386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  e.  RR )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
16 ioossre 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  C_  RR
17 ovolge0 20963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
1816, 17mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) )
19 lep1 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A (,) B ) )  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2114, 15, 5, 18, 20letrd 9527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
223, 5subge02d 9930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
)
2321, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )
24 ovolioo 21048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  z )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
256, 3, 23, 24syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( z  -  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
263recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  e.  CC )
275recnd 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  e.  CC )
2826, 27nncand 9723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
2925, 28eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
31 iooss1 11334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
3210, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) z ) )
339simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
34 eliooord 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  /\  z  <  B ) )
3635simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <  B )
37 xrltle 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
z  <  B  ->  z  <_  B ) )
3811, 33, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  <  B  ->  z  <_  B )
)
3936, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  B )
40 iooss2 11335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4133, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A (,) z
)  C_  ( A (,) B ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
4332, 42sstrd 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
44 ovolss 20967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) (,) z
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
4543, 16, 44sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) (,) z ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4630, 45eqbrtrrd 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
48 xrlenlt 9441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  <_  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <->  -.  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
4910, 7, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <_  (
z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <->  -.  ( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A ) )
505, 15lenltd 9519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5147, 49, 503imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  < 
A  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
5213, 51mt4d 138 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A )
5335simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <  z )
54 xrre2 11141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  -  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z  -  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <  A  /\  A  <  z ) )  ->  A  e.  RR )
557, 10, 11, 52, 53, 54syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
563, 5readdcld 9412 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5756rexrd 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
583, 5addge01d 9926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <-> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
5921, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
60 ovolioo 21048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  z  <_  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
613, 56, 59, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  -  z ) )
6226, 27pncan2d 9720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  -  z
)  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6361, 62eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )
65 iooss2 11335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B )  -> 
( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( z (,) B ) )
6633, 65sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  (
z (,) B ) )
67 xrltle 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z ) )
6810, 11, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
6953, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  A  <_  z )
70 iooss1 11334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  z )  ->  (
z (,) B ) 
C_  ( A (,) B ) )
7110, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( z (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
7366, 72sstrd 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
74 ovolss 20967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z (,) (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7573, 16, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( z (,) ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7664, 75eqbrtrrd 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B
) )  e.  RR )  /\  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B
)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 )  <_ 
( vol* `  ( A (,) B ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 )  <_  ( vol* `  ( A (,) B ) ) ) )
78 xrlenlt 9441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
7957, 33, 78syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) )  <_  B  <->  -.  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) ) )
8077, 79, 503imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( -.  B  < 
( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( vol* `  ( A (,) B ) )  <  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) ) )
8113, 80mt4d 138 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) )
82 xrre2 11141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  (
z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
z  <  B  /\  B  <  ( z  +  ( ( vol* `  ( A (,) B
) )  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8311, 33, 57, 36, 81, 82syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8455, 83jca 532 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A (,) B )  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
8584ex 434 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  (
( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
8685exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  ( A (,) B )  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
871, 86sylbi 195 . 2  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
8887imp 429 1  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2605    C_ wss 3327   (/)c0 3636   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   (,)cioo 11299   vol*covol 20945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cmp 18989  df-ovol 20947  df-vol 20948
This theorem is referenced by:  ioorcl  21056
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