MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioopos Structured version   Unicode version

Theorem ioopos 11387
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  0  <  x }

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 9445 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 pnfxr 11107 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iooval2 11348 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( 0  < 
x  /\  x  < +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( 0  < 
x  /\  x  < +oo ) }
5 ltpnf 11117 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
65biantrud 507 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( 0  <  x  /\  x  < +oo ) ) )
76rabbiia 2976 . 2  |-  { x  e.  RR  |  0  < 
x }  =  {
x  e.  RR  | 
( 0  <  x  /\  x  < +oo ) }
84, 7eqtr4i 2466 1  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  0  <  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2734   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106   RRcr 9296   0cc0 9297   +oocpnf 9430   RR*cxr 9432    < clt 9433   (,)cioo 11315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-ioo 11319
This theorem is referenced by:  ioorp  11388  repos  11401
  Copyright terms: Public domain W3C validator