MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioopnfsup Structured version   Unicode version

Theorem ioopnfsup 11703
Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ioopnfsup  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  sup ( ( A (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )

Proof of Theorem ioopnfsup
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  A  e.  RR* )
2 pnfxr 11092 . . 3  |- +oo  e.  RR*
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  -> +oo  e.  RR* )
4 nltpnft 11138 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  -.  A  < +oo ) )
54necon2abid 2668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  < +oo  <->  A  =/= +oo )
)
65biimpar 485 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  A  < +oo )
7 ioon0 11326 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( A (,) +oo )  =/=  (/)  <->  A  < +oo )
)
83, 7syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  (
( A (,) +oo )  =/=  (/)  <->  A  < +oo )
)
96, 8mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A (,) +oo )  =/=  (/) )
10 df-ioo 11304 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
11 idd 24 . . 3  |-  ( ( w  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
w  < +oo  ->  w  < +oo ) )
12 xrltle 11126 . . 3  |-  ( ( w  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
w  < +oo  ->  w  <_ +oo ) )
13 idd 24 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
14 xrltle 11126 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
1510, 11, 12, 13, 14ixxub 11321 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( A (,) +oo )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
161, 3, 9, 15syl3anc 1218 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  sup ( ( A (,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   (/)c0 3637   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   supcsup 7690   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418   (,)cioo 11300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-ioo 11304
This theorem is referenced by:  rpsup  11705  resup  11706  dvfsumrlim  21503  logno1  22081
  Copyright terms: Public domain W3C validator