Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioomidp Structured version   Unicode version

Theorem ioomidp 37415
Description: The midpoint is an element of the open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioomidp  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem ioomidp
StepHypRef Expression
1 rexr 9682 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
213ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 9682 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
433ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  e.  RR* )
5 readdcl 9618 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
65rehalfcld 10855 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
763adant3 1025 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
8 avglt1 10846 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
98biimp3a 1364 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  <  ( ( A  +  B )  /  2
) )
10 avglt2 10847 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
1110biimp3a 1364 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  <  B )
122, 4, 7, 9, 11eliood 37395 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   RRcr 9534    + caddc 9538   RR*cxr 9670    < clt 9671    / cdiv 10265   2c2 10655   (,)cioo 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-2 10664  df-ioo 11635
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  37590  ioodvbdlimc1lem2  37591  ioodvbdlimc1lem1OLD  37592  ioodvbdlimc1lem2OLD  37593  ioodvbdlimc2lem  37595  ioodvbdlimc2lemOLD  37596
  Copyright terms: Public domain W3C validator