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Theorem ioombl1lem4 19408
Description: Lemma for ioombl1 19409. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol * `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem4
Dummy variables  x  j  k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3521 . . . . 5  |-  ( E  i^i  B )  C_  E
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  E )
3 ioombl1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
4 ioombl1.v . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
5 ovolsscl 19335 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  B
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  B ) )  e.  RR )
62, 3, 4, 5syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  B ) )  e.  RR )
7 difss 3434 . . . . 5  |-  ( E 
\  B )  C_  E
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  E )
9 ovolsscl 19335 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  B
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  B ) )  e.  RR )
108, 3, 4, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  B ) )  e.  RR )
116, 10readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol * `  ( E  \  B ) ) )  e.  RR )
12 ioombl1.b . . 3  |-  B  =  ( A (,)  +oo )
13 ioombl1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
14 ioombl1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
15 ioombl1.s . . 3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
16 ioombl1.t . . 3  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
17 ioombl1.u . . 3  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
18 ioombl1.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
19 ioombl1.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
20 ioombl1.f3 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
21 ioombl1.p . . 3  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
22 ioombl1.q . . 3  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
23 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
24 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
2512, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem2 19406 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2614rpred 10604 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
274, 26readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
2812, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem1 19405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2928simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
3130, 16ovolsf 19322 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
33 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
35 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
36 pnfxr 10669 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
37 icossre 10947 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
3835, 36, 37mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
3934, 38syl6ss 3320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
40 1nn 9967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
41 fdm 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  T  =  NN )
4232, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
4340, 42syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
44 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
46 dm0rn0 5045 . . . . . . 7  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
4746necon3bii 2599 . . . . . 6  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
4845, 47sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
4932ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5038, 49sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  RR )
51 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
5251, 15ovolsf 19322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
5318, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
5453ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5538, 54sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  e.  RR )
5625adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
57 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
58 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
60 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
61 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
6230ovolfsf 19321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  G ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6329, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6463ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
6538, 64sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  RR )
6660, 61, 65syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  RR )
6751ovolfsf 19321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6818, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6968ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
70 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n
) ) )
7169, 70sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) ) )
7271simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  e.  RR )
7360, 61, 72syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR )
7428simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
7675ovolfsf 19321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  H ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
7877ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
79 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) )
8078, 79sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) )
8180simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) `  n
) )
8280simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  RR )
8365, 82addge01d 9570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  <->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  <_  ( (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) ) )
8481, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  <_  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
8512, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem3 19407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
8684, 85breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  <_  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
8760, 61, 86syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
8859, 66, 73, 87serle 11333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
) )
8916fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( T `
 j )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  j )
9015fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 j )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  j )
9188, 89, 903brtr4g 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  <_ 
( S `  j
) )
92 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
9571simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
96 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
9753, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
98 icossxr 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
9997, 98syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ran  S  C_ 
RR* )
101 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
10253, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
103 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `  k
)  e.  ran  S
)
104102, 103sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e. 
ran  S )
105 supxrub 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  k )  e.  ran  S )  -> 
( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
106100, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
107106ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
108 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S `
 k )  <_  x 
<->  ( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
109108ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
110109rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x )
11125, 107, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x )
11258, 15, 93, 94, 72, 95, 111isumsup2 12581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
11397, 38syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
114 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  S  =  NN )
11553, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
11640, 115syl5eleqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  S
)
117 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  dom  S  ->  dom  S  =/=  (/) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
119 dm0rn0 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
120119necon3bii 2599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
121118, 120sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
122 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  x  <->  ( S `  k )  <_  x
) )
123122ralrn 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x
) )
124102, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x ) )
125124rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  S  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x ) )
126111, 125mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  S  z  <_  x )
127 supxrre 10862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  S  z  <_  x )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
128113, 121, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
129112, 128breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13115, 130syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
)  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
13272adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR )
13395adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
13458, 57, 131, 132, 133climserle 12411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13590, 134syl5eqbr 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13650, 55, 56, 91, 135letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
137136ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
138 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( T `
 j )  <_  x 
<->  ( T `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
139138ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
140139rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x )
14125, 137, 140syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x )
142 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
14332, 142syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
144 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( T `  j )  ->  (
z  <_  x  <->  ( T `  j )  <_  x
) )
145144ralrn 5832 . . . . . . . 8  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  T  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x
) )
146143, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  T  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x ) )
147146rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  T  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x ) )
148141, 147mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )
149 suprcl 9924 . . . . 5  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )  ->  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
15039, 48, 148, 149syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
15175, 17ovolsf 19322 . . . . . . . 8  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
15274, 151syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
153 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  U 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
154152, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,)  +oo ) )
155154, 38syl6ss 3320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR )
156 fdm 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  U  =  NN )
157152, 156syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  U  =  NN )
15840, 157syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  U
)
159 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  U  ->  dom  U  =/=  (/) )
160158, 159syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  U  =/=  (/) )
161 dm0rn0 5045 . . . . . . 7  |-  ( dom 
U  =  (/)  <->  ran  U  =  (/) )
162161necon3bii 2599 . . . . . 6  |-  ( dom 
U  =/=  (/)  <->  ran  U  =/=  (/) )
163160, 162sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  U  =/=  (/) )
164152ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
16538, 164sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  RR )
16660, 61, 82syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  RR )
167 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
) ) )
16864, 167sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
) ) )
169168simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
) )
17082, 65addge02d 9571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  <->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  <_  ( (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) ) )
171169, 170mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  <_  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
172171, 85breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  <_  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
17360, 61, 172syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
17459, 166, 73, 173serle 11333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
) )
17517fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( U `
 j )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) ) `  j )
176174, 175, 903brtr4g 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( S `  j
) )
177165, 55, 56, 176, 135letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
178177ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
179 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( U `
 j )  <_  x 
<->  ( U `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
180179ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
181180rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x )
18225, 178, 181syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x )
183 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  U  Fn  NN )
184152, 183syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  NN )
185 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  x  <->  ( U `  j )  <_  x
) )
186185ralrn 5832 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x
) )
187184, 186syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x ) )
188187rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x ) )
189182, 188mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )
190 suprcl 9924 . . . . 5  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )  ->  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )  e.  RR )
191155, 163, 189, 190syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )  e.  RR )
192 ssralv 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  i^i  B ) 
C_  E  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
1931, 192ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
19421breq1i 4179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x
)
195 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
19618, 195sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
197196simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
19821, 197syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
199198adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
2001, 3syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  RR )
201200sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B ) )  ->  x  e.  RR )
202201adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
203 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x )
)
204199, 202, 203syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x ) )
205 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
206 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V
20723fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V )  ->  ( G `  n )  =  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
208205, 206, 207sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  = 
<. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
209208fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
21013adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
211 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
212210, 198, 211syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
213196simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
21422, 213syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
215 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
216212, 214, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
217 op1stg 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
218216, 214, 217syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
219209, 218eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
220219ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( 1st `  ( G `  n )
)  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
221216ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
222212ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
223200ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( E  i^i  B )  C_  RR )
224 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  ( E  i^i  B ) )
225223, 224sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
226214ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  Q  e.  RR )
227 min1 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
228222, 226, 227syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
22913ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  e.  RR )
230 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  i^i  B )  C_  B
231230sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( E  i^i  B )  ->  x  e.  B )
232231ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  B
)
23313rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
234 elioo2 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
235233, 36, 234sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
23612eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( A (,)  +oo )
)
237 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
238237adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  ->  x  <  +oo )
239238pm4.71i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <  x )  /\  x  <  +oo ) )
240 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <  +oo )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <  x )  /\  x  <  +oo ) )
241239, 240bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <  +oo ) )
242235, 236, 2413bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <  x ) ) )
243 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  ->  A  <  x )
244242, 243syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  A  <  x ) )
245244ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( x  e.  B  ->  A  <  x ) )
246232, 245mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  <  x
)
247229, 225, 246ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  <_  x
)
248 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  P  <_  x
)
249 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  ->  ( A  <_  x  <->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
) )
250 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  =  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  ->  ( P  <_  x  <->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
) )
251249, 250ifboth 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  <_  x  /\  P  <_  x )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x )
252247, 248, 251syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
)
253221, 222, 225, 228, 252letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  x
)
254220, 253eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x )
255254expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <_  x  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  <_  x ) )
256204, 255syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  <_  x ) )
257194, 256syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  ( 1st `  ( G `
 n ) )  <_  x ) )
25822breq2i 4180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  <  Q  <->  x  <  ( 2nd `  ( F `
 n ) ) )
259214adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
260 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( x  <  Q  ->  x  <_  Q )
)
261202, 259, 260syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  Q ) )
262258, 261syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  Q ) )
263208fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
264 op2ndg 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  Q )
265216, 214, 264syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  Q )
266263, 265eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  Q )
267266adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  Q )
268267breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  x  <_  Q ) )
269262, 268sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
270257, 269anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
271270reximdva 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B ) )  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
272271ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
273193, 272syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
274 ovolfioo 19317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
2753, 18, 274syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
276 ovolficc 19318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  i^i  B
)  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G )  <->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
277200, 29, 276syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G )  <->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
278273, 275, 2773imtr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G ) ) )
27919, 278mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  U. ran  ( [,]  o.  G ) )
28016ovollb2 19338 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( E  i^i  B )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
28129, 279, 280syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
282 supxrre 10862 . . . . . 6  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
28339, 48, 148, 282syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
284281, 283breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
285 ssralv 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  \  B ) 
C_  E  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
2867, 285ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
287198adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
2887, 3syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  RR )
289288sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  \  B ) )  ->  x  e.  RR )
290289adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
291287, 290, 203syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x ) )
292194, 291syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  P  <_  x ) )
293 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  _V
29424fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  _V )  ->  ( H `  n )  =  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )
295205, 293, 294sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  = 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
296295fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
297 op1stg 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  P )
298198, 216, 297syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  P )
299296, 298eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  P )
300299adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n ) )  =  P )
301300breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  <->  P  <_  x ) )
302292, 301sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  ( 1st `  ( H `
 n ) )  <_  x ) )
303214adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
304290, 303, 260syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  Q ) )
305288ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( E  \  B )  C_  RR )
306 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  e.  ( E  \  B ) )
307305, 306sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  e.  RR )
30813ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  A  e.  RR )
309198ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  P  e.  RR )
310308, 309, 211syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
311 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( E  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
312311ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  -.  x  e.  B )
313307biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( A  < 
x  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x ) ) )
314242ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( x  e.  B  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x ) ) )
315313, 314bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( A  < 
x  <->  x  e.  B
) )
316312, 315mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  -.  A  <  x )
317307, 308lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( x  <_  A 
<->  -.  A  <  x
) )
318316, 317mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  A
)
319 max2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
320309, 308, 319syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  A  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
321307, 308, 310, 318, 320letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
322 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  Q
)
323 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  (
x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
324 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  (
x  <_  Q  <->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
325323, 324ifboth 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  x  <_  Q )  ->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
326321, 322, 325syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
327295fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
328 op2ndg 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
329198, 216, 328syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
330327, 329eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
331330ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( 2nd `  ( H `  n )
)  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
332326, 331breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n ) ) )
333332expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <_  Q  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
334304, 333syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
335258, 334syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
336302, 335anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
337336reximdva 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  \  B ) )  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n
) ) ) ) )
338337ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
339286, 338syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
340 ovolficc 19318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  \  B
)  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H )  <->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
341288, 74, 340syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H )  <->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
342339, 275, 3413imtr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H ) ) )
34319, 342mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  U. ran  ( [,]  o.  H ) )
34417ovollb2 19338 . . . . . 6  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( E  \  B )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  H ) )  -> 
( vol * `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
34574, 343, 344syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
346 supxrre 10862 . . . . . 6  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )
347155, 163, 189, 346syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )
)
348345, 347breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )
3496, 10, 150, 191, 284, 348le2addd 9600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol * `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) ) )
350 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )
)
35158, 16, 93, 350, 65, 169, 141isumsup2 12581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
352 seqex 11280 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
)  e.  _V
35315, 352eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
354353a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
355 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )
)
35658, 17, 93, 355, 82, 81, 182isumsup2 12581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  ~~>  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )
)
35750recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  CC )
358165recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  CC )
35965recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  CC )
36060, 61, 359syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  CC )
36182recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  CC )
36260, 61, 361syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  CC )
36385eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
36460, 61, 363syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )
) )
36559, 360, 362, 364seradd 11320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
)  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  j )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) ) `  j ) ) )
36689, 175oveq12i 6052 . . . . . 6  |-  ( ( T `  j )  +  ( U `  j ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  j )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
) `  j )
)
367365, 90, 3663eqtr4g 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  =  ( ( T `  j )  +  ( U `  j ) ) )
36858, 93, 351, 354, 356, 357, 358, 367climadd 12380 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) ) )
369 climuni 12301 . . . 4  |-  ( ( S  ~~>  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  /\  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
370368, 129, 369syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
371349, 370breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol * `  ( E  \  B ) ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
37211, 25, 27, 371, 20letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol * `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   vol *covol 19312
This theorem is referenced by:  ioombl1  19409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ovol 19314
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