Theorem ioombl1lem4 22097

Description: Lemma for ioombl1 22098. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	|- B = ( A (,) +oo )
ioombl1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioombl1.e	|- ( ph -> E C_ RR )
ioombl1.v	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
ioombl1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
ioombl1.s	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ioombl1.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ioombl1.u	|- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
ioombl1.f1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ioombl1.f2	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ioombl1.f3	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
ioombl1.p	|- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
ioombl1.q	|- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
ioombl1.g	|- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
ioombl1.h	|- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem4	|- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i B ) ) + ( vol* ` ( E \ B ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )

Distinct variable groups:   B, n   C, n   n, E   n, F   n, G   n, H   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( n)   P( n)   Q( n)   T( n)   U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem4

Dummy variables x j k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3714	. . . . 5 |- ( E i^i B ) C_ E
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E i^i B ) C_ E )
3		ioombl1.e	. . . 4 |- ( ph -> E C_ RR )
4		ioombl1.v	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
5		ovolsscl 22023	. . . 4 |- ( ( ( E i^i B ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i B ) ) e. RR )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i B ) ) e. RR )
7		difss 3627	. . . . 5 |- ( E \ B ) C_ E
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E \ B ) C_ E )
9		ovolsscl 22023	. . . 4 |- ( ( ( E \ B ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ B ) ) e. RR )
10	8, 3, 4, 9	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ B ) ) e. RR )
11	6, 10	readdcld 9640	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i B ) ) + ( vol* ` ( E \ B ) ) ) e. RR )
12		ioombl1.b	. . 3 |- B = ( A (,) +oo )
13		ioombl1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
14		ioombl1.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
15		ioombl1.s	. . 3 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
16		ioombl1.t	. . 3 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
17		ioombl1.u	. . 3 |- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
18		ioombl1.f1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
19		ioombl1.f2	. . 3 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. F ) )
20		ioombl1.f3	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
21		ioombl1.p	. . 3 |- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
22		ioombl1.q	. . 3 |- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
23		ioombl1.g	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
24		ioombl1.h	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
25	12, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	ioombl1lem2 22095	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
26	14	rpred 11281	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
27	4, 26	readdcld 9640	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` E ) + C ) e. RR )
28	12, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	ioombl1lem1 22094	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
29	28	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
30		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
31	30, 16	ovolsf 22010	. . . . . . . 8 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32	29, 31	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
33		frn 5743	. . . . . . 7 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
35		rge0ssre 11653	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
36	34, 35	syl6ss 3511	. . . . 5 |- ( ph -> ran T C_ RR )
37		1nn 10567	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
38		fdm 5741	. . . . . . . . 9 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
39	32, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom T = NN )
40	37, 39	syl5eleqr 2552	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. dom T )
41		ne0i 3799	. . . . . . 7 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
43		dm0rn0 5229	. . . . . . 7 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
44	43	necon3bii 2725	. . . . . 6 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
45	42, 44	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
46	32	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` j ) e. ( 0 [,) +oo ) )
47	35, 46	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` j ) e. RR )
48		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
49	48, 15	ovolsf 22010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
50	18, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
51	50	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S ` j ) e. ( 0 [,) +oo ) )
52	35, 51	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S ` j ) e. RR )
53	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR )
54		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
55		nnuz 11141	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	54, 55	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ph )
58		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
59	30	ovolfsf 22009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
60	29, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
61	60	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
62	35, 61	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. RR )
63	57, 58, 62	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. RR )
64	48	ovolfsf 22009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
65	18, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
66	65	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) ) )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) ) )
69	68	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. RR )
70	57, 58, 69	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. RR )
71	28	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
72		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs o. - ) o. H ) = ( ( abs o. - ) o. H )
73	72	ovolfsf 22009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. H ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
74	71, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. H ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
75	74	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
76		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
77	75, 76	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
78	77	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) )
79	77	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. RR )
80	62, 79	addge01d 10161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) <-> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) <_ ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) ) )
81	78, 80	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) <_ ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
82	12, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	ioombl1lem3 22096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
83	81, 82	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
84	57, 58, 83	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
85	56, 63, 70, 84	serle 12165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` j ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` j ) )
86	16	fveq1i 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( T ` j ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` j )
87	15	fveq1i 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( S ` j ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` j )
88	85, 86, 87	3brtr4g 4488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` j ) <_ ( S ` j ) )
89		1zzd 10916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
90		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
91	68	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
92		frn 5743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
93	50, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
94		icossxr 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
95	93, 94	syl6ss 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ran S C_ RR* )
97		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
98	50, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S Fn NN )
99		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S Fn NN /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
100	98, 99	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. ran S )
101		supxrub 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( S ` k ) e. ran S ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
102	96, 100, 101	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
103	102	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
104		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( ( S ` k ) <_ x <-> ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
105	104	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( A. k e. NN ( S ` k ) <_ x <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
106	105	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( sup ( ran S , RR* , < ) e. RR /\ A. k e. NN ( S ` k ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ x )
107	25, 103, 106	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. x e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ x )
108	55, 15, 89, 90, 69, 91, 107	isumsup2 13670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S ~~> sup ( ran S , RR , < ) )
109	93, 35	syl6ss 3511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran S C_ RR )
110		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom S = NN )
111	50, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom S = NN )
112	37, 111	syl5eleqr 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. dom S )
113		ne0i 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. dom S -> dom S =/= (/) )
114	112, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom S =/= (/) )
115		dm0rn0 5229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom S = (/) <-> ran S = (/) )
116	115	necon3bii 2725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom S =/= (/) <-> ran S =/= (/) )
117	114, 116	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran S =/= (/) )
118		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( S ` k ) -> ( z <_ x <-> ( S ` k ) <_ x ) )
119	118	ralrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S Fn NN -> ( A. z e. ran S z <_ x <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ x ) )
120	98, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A. z e. ran S z <_ x <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ x ) )
121	120	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. z e. ran S z <_ x <-> E. x e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ x ) )
122	107, 121	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. ran S z <_ x )
123		supxrre 11544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran S C_ RR /\ ran S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran S z <_ x ) -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran S , RR , < ) )
124	109, 117, 122, 123	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran S , RR , < ) )
125	108, 124	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S ~~> sup ( ran S , RR* , < ) )
126	125	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S ~~> sup ( ran S , RR* , < ) )
127	15, 126	syl5eqbrr 4490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ~~> sup ( ran S , RR* , < ) )
128	69	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) e. RR )
129	91	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
130	55, 54, 127, 128, 129	climserle 13497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
131	87, 130	syl5eqbr 4489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
132	47, 52, 53, 88, 131	letrd 9756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
133	132	ralrimiva 2871	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. NN ( T ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
134		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( ( T ` j ) <_ x <-> ( T ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
135	134	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( A. j e. NN ( T ` j ) <_ x <-> A. j e. NN ( T ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
136	135	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran S , RR* , < ) e. RR /\ A. j e. NN ( T ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( T ` j ) <_ x )
137	25, 133, 136	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. NN ( T ` j ) <_ x )
138		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
139	32, 138	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T Fn NN )
140		breq1 4459	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( T ` j ) -> ( z <_ x <-> ( T ` j ) <_ x ) )
141	140	ralrn 6035	. . . . . . . 8 |- ( T Fn NN -> ( A. z e. ran T z <_ x <-> A. j e. NN ( T ` j ) <_ x ) )
142	139, 141	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. ran T z <_ x <-> A. j e. NN ( T ` j ) <_ x ) )
143	142	rexbidv 2968	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. z e. ran T z <_ x <-> E. x e. RR A. j e. NN ( T ` j ) <_ x ) )
144	137, 143	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. ran T z <_ x )
145		suprcl 10523	. . . . 5 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran T z <_ x ) -> sup ( ran T , RR , < ) e. RR )
146	36, 45, 144, 145	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran T , RR , < ) e. RR )
147	72, 17	ovolsf 22010	. . . . . . . 8 |- ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
148	71, 147	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
149		frn 5743	. . . . . . 7 |- ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran U C_ ( 0 [,) +oo ) )
150	148, 149	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran U C_ ( 0 [,) +oo ) )
151	150, 35	syl6ss 3511	. . . . 5 |- ( ph -> ran U C_ RR )
152		fdm 5741	. . . . . . . . 9 |- ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom U = NN )
153	148, 152	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom U = NN )
154	37, 153	syl5eleqr 2552	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. dom U )
155		ne0i 3799	. . . . . . 7 |- ( 1 e. dom U -> dom U =/= (/) )
156	154, 155	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> dom U =/= (/) )
157		dm0rn0 5229	. . . . . . 7 |- ( dom U = (/) <-> ran U = (/) )
158	157	necon3bii 2725	. . . . . 6 |- ( dom U =/= (/) <-> ran U =/= (/) )
159	156, 158	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ran U =/= (/) )
160	148	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) e. ( 0 [,) +oo ) )
161	35, 160	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) e. RR )
162	57, 58, 79	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. RR )
163		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) ) )
164	61, 163	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) ) )
165	164	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) )
166	79, 62	addge02d 10162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) <-> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) <_ ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) ) )
167	165, 166	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) <_ ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
168	167, 82	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
169	57, 58, 168	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) <_ ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )
170	56, 162, 70, 169	serle 12165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) ` j ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` j ) )
171	17	fveq1i 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( U ` j ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) ` j )
172	170, 171, 87	3brtr4g 4488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) <_ ( S ` j ) )
173	161, 52, 53, 172, 131	letrd 9756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
174	173	ralrimiva 2871	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. NN ( U ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
175		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( ( U ` j ) <_ x <-> ( U ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
176	175	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran S , RR* , < ) -> ( A. j e. NN ( U ` j ) <_ x <-> A. j e. NN ( U ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) )
177	176	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran S , RR* , < ) e. RR /\ A. j e. NN ( U ` j ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( U ` j ) <_ x )
178	25, 174, 177	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. NN ( U ` j ) <_ x )
179		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> U Fn NN )
180	148, 179	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U Fn NN )
181		breq1 4459	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( U ` j ) -> ( z <_ x <-> ( U ` j ) <_ x ) )
182	181	ralrn 6035	. . . . . . . 8 |- ( U Fn NN -> ( A. z e. ran U z <_ x <-> A. j e. NN ( U ` j ) <_ x ) )
183	180, 182	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. ran U z <_ x <-> A. j e. NN ( U ` j ) <_ x ) )
184	183	rexbidv 2968	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. z e. ran U z <_ x <-> E. x e. RR A. j e. NN ( U ` j ) <_ x ) )
185	178, 184	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. ran U z <_ x )
186		suprcl 10523	. . . . 5 |- ( ( ran U C_ RR /\ ran U =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran U z <_ x ) -> sup ( ran U , RR , < ) e. RR )
187	151, 159, 185, 186	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran U , RR , < ) e. RR )
188		ssralv 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E i^i B ) C_ E -> ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
189	1, 188	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
190	21	breq1i 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P < x <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < x )
191		ovolfcl 22004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
192	18, 191	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
193	192	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
194	21, 193	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P e. RR )
195	194	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> P e. RR )
196	1, 3	syl5ss 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E i^i B ) C_ RR )
197	196	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) -> x e. RR )
198	197	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> x e. RR )
199		ltle 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. RR /\ x e. RR ) -> ( P < x -> P <_ x ) )
200	195, 198, 199	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( P < x -> P <_ x ) )
201		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
202		opex 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. _V
203	23	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. NN /\ <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. _V ) -> ( G ` n ) = <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
204	201, 202, 203	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( G ` n ) = <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
205	204	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) )
206	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
207	206, 194	ifcld 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( P <_ A , A , P ) e. RR )
208	192	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
209	22, 208	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Q e. RR )
210	207, 209	ifcld 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR )
211		op1stg 6811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR /\ Q e. RR ) -> ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
212	210, 209, 211	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
213	205, 212	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
214	213	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
215	210	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR )
216	207	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> if ( P <_ A , A , P ) e. RR )
217	196	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> ( E i^i B ) C_ RR )
218		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> x e. ( E i^i B ) )
219	217, 218	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> x e. RR )
220	209	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> Q e. RR )
221		min1 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( if ( P <_ A , A , P ) e. RR /\ Q e. RR ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ if ( P <_ A , A , P ) )
222	216, 220, 221	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ if ( P <_ A , A , P ) )
223	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> A e. RR )
224		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E i^i B ) C_ B
225	224	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( E i^i B ) -> x e. B )
226	225	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> x e. B )
227	13	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A e. RR* )
228		pnfxr 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- +oo e. RR*
229		elioo2 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < +oo ) ) )
230	227, 228, 229	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < +oo ) ) )
231	12	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. B <-> x e. ( A (,) +oo ) )
232		ltpnf 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. RR -> x < +oo )
233	232	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x < +oo )
234	233	pm4.71i 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) <-> ( ( x e. RR /\ A < x ) /\ x < +oo ) )
235		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. RR /\ A < x /\ x < +oo ) <-> ( ( x e. RR /\ A < x ) /\ x < +oo ) )
236	234, 235	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < +oo ) )
237	230, 231, 236	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( x e. B <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
238		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> A < x )
239	237, 238	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( x e. B -> A < x ) )
240	239	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> ( x e. B -> A < x ) )
241	226, 240	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> A < x )
242	223, 219, 241	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> A <_ x )
243		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> P <_ x )
244		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A = if ( P <_ A , A , P ) -> ( A <_ x <-> if ( P <_ A , A , P ) <_ x ) )
245		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P = if ( P <_ A , A , P ) -> ( P <_ x <-> if ( P <_ A , A , P ) <_ x ) )
246	244, 245	ifboth 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A <_ x /\ P <_ x ) -> if ( P <_ A , A , P ) <_ x )
247	242, 243, 246	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> if ( P <_ A , A , P ) <_ x )
248	215, 216, 219, 222, 247	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ x )
249	214, 248	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ ( n e. NN /\ P <_ x ) ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x )
250	249	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( P <_ x -> ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x ) )
251	200, 250	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( P < x -> ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x ) )
252	190, 251	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x -> ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x ) )
253	22	breq2i 4464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x < Q <-> x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
254	209	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> Q e. RR )
255		ltle 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ Q e. RR ) -> ( x < Q -> x <_ Q ) )
256	198, 254, 255	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < Q -> x <_ Q ) )
257	253, 256	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) -> x <_ Q ) )
258	204	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) )
259		op2ndg 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR /\ Q e. RR ) -> ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = Q )
260	210, 209, 259	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = Q )
261	258, 260	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = Q )
262	261	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = Q )
263	262	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) <-> x <_ Q ) )
264	257, 263	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) -> x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
265	252, 264	anim12d 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
266	265	reximdva 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( E i^i B ) ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
267	266	ralimdva 2865	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
268	189, 267	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
269		ovolfioo 22005	. . . . . . . . 9 |- ( ( E C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( E C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
270	3, 18, 269	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
271		ovolficc 22006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E i^i B ) C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( ( E i^i B ) C_ U. ran ( [,] o. G ) <-> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
272	196, 29, 271	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E i^i B ) C_ U. ran ( [,] o. G ) <-> A. x e. ( E i^i B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
273	268, 270, 272	3imtr4d 268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E C_ U. ran ( (,) o. F ) -> ( E i^i B ) C_ U. ran ( [,] o. G ) ) )
274	19, 273	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E i^i B ) C_ U. ran ( [,] o. G ) )
275	16	ovollb2 22026	. . . . . 6 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( E i^i B ) C_ U. ran ( [,] o. G ) ) -> ( vol* ` ( E i^i B ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
276	29, 274, 275	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i B ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
277		supxrre 11544	. . . . . 6 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran T z <_ x ) -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
278	36, 45, 144, 277	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
279	276, 278	breqtrd 4480	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( E i^i B ) ) <_ sup ( ran T , RR , < ) )
280		ssralv 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E \ B ) C_ E -> ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
281	7, 280	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
282	194	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> P e. RR )
283	7, 3	syl5ss 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E \ B ) C_ RR )
284	283	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) -> x e. RR )
285	284	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> x e. RR )
286	282, 285, 199	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( P < x -> P <_ x ) )
287	190, 286	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x -> P <_ x ) )
288		opex 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. _V
289	24	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. NN /\ <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. _V ) -> ( H ` n ) = <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
290	201, 288, 289	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( H ` n ) = <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
291	290	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` n ) ) = ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) )
292		op1stg 6811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR ) -> ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = P )
293	194, 210, 292	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = P )
294	291, 293	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` n ) ) = P )
295	294	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` n ) ) = P )
296	295	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x <-> P <_ x ) )
297	287, 296	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x -> ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x ) )
298	209	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> Q e. RR )
299	285, 298, 255	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < Q -> x <_ Q ) )
300	283	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( E \ B ) C_ RR )
301		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x e. ( E \ B ) )
302	300, 301	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x e. RR )
303	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> A e. RR )
304	194	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> P e. RR )
305	303, 304	ifcld 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> if ( P <_ A , A , P ) e. RR )
306		eldifn 3623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( E \ B ) -> -. x e. B )
307	306	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> -. x e. B )
308	302	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( A < x <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
309	237	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( x e. B <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
310	308, 309	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( A < x <-> x e. B ) )
311	307, 310	mtbird 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> -. A < x )
312	302, 303	lenltd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( x <_ A <-> -. A < x ) )
313	311, 312	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x <_ A )
314		max2 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ if ( P <_ A , A , P ) )
315	304, 303, 314	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> A <_ if ( P <_ A , A , P ) )
316	302, 303, 305, 313, 315	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x <_ if ( P <_ A , A , P ) )
317		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x <_ Q )
318		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( P <_ A , A , P ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) -> ( x <_ if ( P <_ A , A , P ) <-> x <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
319		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Q = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) -> ( x <_ Q <-> x <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
320	318, 319	ifboth 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x <_ if ( P <_ A , A , P ) /\ x <_ Q ) -> x <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
321	316, 317, 320	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
322	290	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( H ` n ) ) = ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) )
323		op2ndg 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. RR /\ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR ) -> ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
324	194, 210, 323	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
325	322, 324	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( H ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
326	325	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> ( 2nd ` ( H ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
327	321, 326	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ ( n e. NN /\ x <_ Q ) ) -> x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) )
328	327	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x <_ Q -> x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) )
329	299, 328	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < Q -> x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) )
330	253, 329	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) -> x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) )
331	297, 330	anim12d 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
332	331	reximdva 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( E \ B ) ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
333	332	ralimdva 2865	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
334	281, 333	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. E E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
335		ovolficc 22006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E \ B ) C_ RR /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( ( E \ B ) C_ U. ran ( [,] o. H ) <-> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
336	283, 71, 335	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E \ B ) C_ U. ran ( [,] o. H ) <-> A. x e. ( E \ B ) E. n e. NN ( ( 1st ` ( H ` n ) ) <_ x /\ x <_ ( 2nd ` ( H ` n ) ) ) ) )
337	334, 270, 336	3imtr4d 268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E C_ U. ran ( (,) o. F ) -> ( E \ B ) C_ U. ran ( [,] o. H ) ) )
338	19, 337	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E \ B ) C_ U. ran ( [,] o. H ) )
339	17	ovollb2 22026	. . . . . 6 |- ( ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( E \ B ) C_ U. ran ( [,] o. H ) ) -> ( vol* ` ( E \ B ) ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
340	71, 338, 339	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ B ) ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
341		supxrre 11544	. . . . . 6 |- ( ( ran U C_ RR /\ ran U =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran U z <_ x ) -> sup ( ran U , RR* , < ) = sup ( ran U , RR , < ) )
342	151, 159, 185, 341	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) = sup ( ran U , RR , < ) )
343	340, 342	breqtrd 4480	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` ( E \ B ) ) <_ sup ( ran U , RR , < ) )
344	6, 10, 146, 187, 279, 343	le2addd 10191	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i B ) ) + ( vol* ` ( E \ B ) ) ) <_ ( sup ( ran T , RR , < ) + sup ( ran U , RR , < ) ) )
345		eqidd 2458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) )
346	55, 16, 89, 345, 62, 165, 137	isumsup2 13670	. . . . 5 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR , < ) )
347		seqex 12112	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) e. _V
348	15, 347	eqeltri 2541	. . . . . 6 |- S e. _V
349	348	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
350		eqidd 2458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) )
351	55, 17, 89, 350, 79, 78, 178	isumsup2 13670	. . . . 5 |- ( ph -> U ~~> sup ( ran U , RR , < ) )
352	47	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` j ) e. CC )
353	161	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) e. CC )
354	62	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. CC )
355	57, 58, 354	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) e. CC )
356	79	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. CC )
357	57, 58, 356	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) e. CC )
358	82	eqcomd 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
359	57, 58, 358	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) )
360	56, 355, 357, 359	seradd 12152	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` j ) = ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` j ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) ` j ) ) )
361	86, 171	oveq12i 6308	. . . . . 6 |- ( ( T ` j ) + ( U ` j ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` j ) + ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) ` j ) )
362	360, 87, 361	3eqtr4g 2523	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S ` j ) = ( ( T ` j ) + ( U ` j ) ) )
363	55, 89, 346, 349, 351, 352, 353, 362	climadd 13466	. . . 4 |- ( ph -> S ~~> ( sup ( ran T , RR , < ) + sup ( ran U , RR , < ) ) )
364		climuni 13387	. . . 4 |- ( ( S ~~> ( sup ( ran T , RR , < ) + sup ( ran U , RR , < ) ) /\ S ~~> sup ( ran S , RR* , < ) ) -> ( sup ( ran T , RR , < ) + sup ( ran U , RR , < ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
365	363, 125, 364	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR , < ) + sup ( ran U , RR , < ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
366	344, 365	breqtrd 4480	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i B ) ) + ( vol* ` ( E \ B ) ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
367	11, 25, 27, 366, 20	letrd 9756	1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i B ) ) + ( vol* ` ( E \ B ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   <.cop 4038   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   ...cfz 11697   seqcseq 12110   abscabs 13079   ~~> cli 13319   vol*covol 22000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ovol 22002

This theorem is referenced by:  ioombl1  22098