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Theorem ioombl1lem4 21706
Description: Lemma for ioombl1 21707. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem4  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol* `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem4
Dummy variables  x  j  k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3718 . . . . 5  |-  ( E  i^i  B )  C_  E
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  E )
3 ioombl1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
4 ioombl1.v . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
5 ovolsscl 21632 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  B
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  B ) )  e.  RR )
62, 3, 4, 5syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  i^i  B ) )  e.  RR )
7 difss 3631 . . . . 5  |-  ( E 
\  B )  C_  E
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  E )
9 ovolsscl 21632 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  B
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  B ) )  e.  RR )
108, 3, 4, 9syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  \  B ) )  e.  RR )
116, 10readdcld 9619 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol* `  ( E  \  B ) ) )  e.  RR )
12 ioombl1.b . . 3  |-  B  =  ( A (,) +oo )
13 ioombl1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
14 ioombl1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
15 ioombl1.s . . 3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
16 ioombl1.t . . 3  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
17 ioombl1.u . . 3  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
18 ioombl1.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
19 ioombl1.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
20 ioombl1.f3 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
21 ioombl1.p . . 3  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
22 ioombl1.q . . 3  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
23 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
24 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
2512, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem2 21704 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
2614rpred 11252 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
274, 26readdcld 9619 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )
2812, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem1 21703 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2928simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
3130, 16ovolsf 21619 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
33 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  T  C_  ( 0 [,) +oo ) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,) +oo )
)
35 0re 9592 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
36 pnfxr 11317 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
37 icossre 11601 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
3934, 38syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
40 1nn 10543 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
41 fdm 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  T  =  NN )
4232, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
4340, 42syl5eleqr 2562 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
44 ne0i 3791 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
46 dm0rn0 5217 . . . . . . 7  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
4746necon3bii 2735 . . . . . 6  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
4845, 47sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
4932ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5038, 49sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  RR )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
5251, 15ovolsf 21619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5318, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5453ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5538, 54sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  e.  RR )
5625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
58 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
61 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
6230ovolfsf 21618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6329, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6463ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
6538, 64sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  RR )
6660, 61, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  RR )
6751ovolfsf 21618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  F ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6818, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6968ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
70 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n
) ) )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) ) )
7271simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  e.  RR )
7360, 61, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR )
7428simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
75 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
7675ovolfsf 21618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  H ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
7877ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
79 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) )
8078, 79sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) )
8180simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) `  n
) )
8280simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  RR )
8365, 82addge01d 10136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  <->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  <_  ( (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) ) )
8481, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  <_  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
8512, 13, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24ioombl1lem3 21705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
8684, 85breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  <_  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
8760, 61, 86syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
8859, 66, 73, 87serle 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  j
)  <_  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
) )
8916fveq1i 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( T `
 j )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  j )
9015fveq1i 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 j )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  j )
9188, 89, 903brtr4g 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  <_ 
( S `  j
) )
92 1zzd 10891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
93 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
9471simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
95 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
9653, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
97 icossxr 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
9896, 97syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ran  S  C_ 
RR* )
100 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
10153, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
102 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `  k
)  e.  ran  S
)
103101, 102sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e. 
ran  S )
104 supxrub 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  k )  e.  ran  S )  -> 
( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
10599, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
106105ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
107 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S `
 k )  <_  x 
<->  ( S `  k
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
108107ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
109108rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x )
11025, 106, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x )
11158, 15, 92, 93, 72, 94, 110isumsup2 13617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
11296, 38syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
113 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  S  =  NN )
11453, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
11540, 114syl5eleqr 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  S
)
116 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  dom  S  ->  dom  S  =/=  (/) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
118 dm0rn0 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
119118necon3bii 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
120117, 119sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
121 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  x  <->  ( S `  k )  <_  x
) )
122121ralrn 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x
) )
123101, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x ) )
124123rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  S  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  x ) )
125110, 124mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  S  z  <_  x )
126 supxrre 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  S  z  <_  x )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
127112, 120, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
128111, 127breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13015, 129syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
)  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
13172adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  e.  RR )
13294adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
13358, 57, 130, 131, 132climserle 13444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13490, 133syl5eqbr 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
13550, 55, 56, 91, 134letrd 9734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
136135ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
137 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( T `
 j )  <_  x 
<->  ( T `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
138137ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
139138rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x )
14025, 136, 139syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x )
141 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  T  Fn  NN )
14232, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
143 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( T `  j )  ->  (
z  <_  x  <->  ( T `  j )  <_  x
) )
144143ralrn 6022 . . . . . . . 8  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  T  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x
) )
145142, 144syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  T  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x ) )
146145rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  T  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( T `  j )  <_  x ) )
147140, 146mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )
148 suprcl 10499 . . . . 5  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )  ->  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
14939, 48, 147, 148syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
15075, 17ovolsf 21619 . . . . . . . 8  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
15174, 150syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
152 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( U : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  U  C_  ( 0 [,) +oo ) )
153151, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,) +oo )
)
154153, 38syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR )
155 fdm 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( U : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  U  =  NN )
156151, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  U  =  NN )
15740, 156syl5eleqr 2562 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  U
)
158 ne0i 3791 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  U  ->  dom  U  =/=  (/) )
159157, 158syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  U  =/=  (/) )
160 dm0rn0 5217 . . . . . . 7  |-  ( dom 
U  =  (/)  <->  ran  U  =  (/) )
161160necon3bii 2735 . . . . . 6  |-  ( dom 
U  =/=  (/)  <->  ran  U  =/=  (/) )
162159, 161sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  U  =/=  (/) )
163151ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
16438, 163sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  RR )
16560, 61, 82syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  RR )
166 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
) ) )
16764, 166sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
) ) )
168167simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
) )
16982, 65addge02d 10137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n
)  <->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
)  <_  ( (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n
) ) ) )
170168, 169mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  <_  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
171170, 85breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  <_  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )
)
17260, 61, 171syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) `  n
) )
17359, 165, 73, 172serle 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) ) `  j
)  <_  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
) )
17417fveq1i 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( U `
 j )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) ) `  j )
175173, 174, 903brtr4g 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( S `  j
) )
176164, 55, 56, 175, 134letrd 9734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
177176ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
178 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( U `
 j )  <_  x 
<->  ( U `  j
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
179178ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
180179rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x )
18125, 177, 180syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x )
182 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( U : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  U  Fn  NN )
183151, 182syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  NN )
184 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  x  <->  ( U `  j )  <_  x
) )
185184ralrn 6022 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x
) )
186183, 185syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x ) )
187186rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  x ) )
188181, 187mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )
189 suprcl 10499 . . . . 5  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )  ->  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )  e.  RR )
190154, 162, 188, 189syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )  e.  RR )
191 ssralv 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  i^i  B ) 
C_  E  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
1921, 191ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
19321breq1i 4454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x
)
194 ovolfcl 21613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
19518, 194sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
196195simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
19721, 196syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
198197adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
1991, 3syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  RR )
200199sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B ) )  ->  x  e.  RR )
201200adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
202 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x )
)
203198, 201, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x ) )
204 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
205 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V
20623fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
_V )  ->  ( G `  n )  =  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
207204, 205, 206sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  = 
<. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
208207fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
20913adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
210 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
211209, 197, 210syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
212195simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
21322, 212syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
214 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
215211, 213, 214syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
216 op1stg 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
217215, 213, 216syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
218208, 217eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
219218ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( 1st `  ( G `  n )
)  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
220215ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
221211ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
222199ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( E  i^i  B )  C_  RR )
223 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  ( E  i^i  B ) )
224222, 223sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
225213ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  Q  e.  RR )
226 min1 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
227221, 225, 226syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
22813ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  e.  RR )
229 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  i^i  B )  C_  B
230229sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( E  i^i  B )  ->  x  e.  B )
231230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  x  e.  B
)
23213rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
233 elioo2 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  < +oo ) ) )
234232, 36, 233sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  < +oo ) ) )
23512eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( A (,) +oo )
)
236 ltpnf 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
237236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  ->  x  < +oo )
238237pm4.71i 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <  x )  /\  x  < +oo ) )
239 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  < +oo )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <  x )  /\  x  < +oo ) )
240238, 239bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  < +oo ) )
241234, 235, 2403bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <  x ) ) )
242 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <  x )  ->  A  <  x )
243241, 242syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  A  <  x ) )
244243ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( x  e.  B  ->  A  <  x ) )
245231, 244mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  <  x
)
246228, 224, 245ltled 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  A  <_  x
)
247 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  P  <_  x
)
248 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  ->  ( A  <_  x  <->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
) )
249 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  =  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  ->  ( P  <_  x  <->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
) )
250248, 249ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  <_  x  /\  P  <_  x )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x )
251246, 247, 250syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  x
)
252220, 221, 224, 227, 251letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  x
)
253219, 252eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  P  <_  x ) )  ->  ( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x )
254253expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <_  x  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  <_  x ) )
255203, 254syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  <_  x ) )
256193, 255syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  ( 1st `  ( G `
 n ) )  <_  x ) )
25722breq2i 4455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  <  Q  <->  x  <  ( 2nd `  ( F `
 n ) ) )
258213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
259 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( x  <  Q  ->  x  <_  Q )
)
260201, 258, 259syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  Q ) )
261257, 260syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  Q ) )
262207fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. ) )
263 op2ndg 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >. )  =  Q )
264215, 213, 263syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )  =  Q )
265262, 264eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n
) )  =  Q )
266265adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  Q )
267266breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  x  <_  Q ) )
268261, 267sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
269256, 268anim12d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
270269reximdva 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  i^i  B ) )  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
271270ralimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
272192, 271syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  i^i  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
273 ovolfioo 21614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
2743, 18, 273syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
275 ovolficc 21615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  i^i  B
)  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G )  <->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
276199, 29, 275syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G )  <->  A. x  e.  ( E  i^i  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
277272, 274, 2763imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  ( E  i^i  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  G ) ) )
27819, 277mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  B
)  C_  U. ran  ( [,]  o.  G ) )
27916ovollb2 21635 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( E  i^i  B )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
28029, 278, 279syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
281 supxrre 11515 . . . . . 6  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  T  z  <_  x )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
28239, 48, 147, 281syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
283280, 282breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  i^i  B ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
284 ssralv 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  \  B ) 
C_  E  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
2857, 284ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
286197adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
2877, 3syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  RR )
288287sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  \  B ) )  ->  x  e.  RR )
289288adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
290286, 289, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P  <  x  ->  P  <_  x ) )
291193, 290syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  P  <_  x ) )
292 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  _V
29324fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >.  e.  _V )  ->  ( H `  n )  =  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )
294204, 292, 293sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  = 
<. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
295294fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
296 op1stg 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  P )
297197, 215, 296syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  P )
298295, 297eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n
) )  =  P )
299298adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  n ) )  =  P )
300299breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  <->  P  <_  x ) )
301291, 300sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  ->  ( 1st `  ( H `
 n ) )  <_  x ) )
302213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
303289, 302, 259syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  Q ) )
304287ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( E  \  B )  C_  RR )
305 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  e.  ( E  \  B ) )
306304, 305sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  e.  RR )
30713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  A  e.  RR )
308197ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  P  e.  RR )
309307, 308, 210syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
310 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( E  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
311310ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  -.  x  e.  B )
312306biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( A  < 
x  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x ) ) )
313241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( x  e.  B  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x ) ) )
314312, 313bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( A  < 
x  <->  x  e.  B
) )
315311, 314mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  -.  A  <  x )
316306, 307lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( x  <_  A 
<->  -.  A  <  x
) )
317315, 316mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  A
)
318 max2 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
319308, 307, 318syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  A  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
320306, 307, 309, 317, 319letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )
)
321 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  Q
)
322 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  (
x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
323 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  (
x  <_  Q  <->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
324322, 323ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  x  <_  Q )  ->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
325320, 321, 324syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
326294fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. ) )
327 op2ndg 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
328197, 215, 327syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
329326, 328eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  n
) )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
330329ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  ( 2nd `  ( H `  n )
)  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
331325, 330breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  x  <_  Q ) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n ) ) )
332331expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <_  Q  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
333303, 332syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  Q  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
334257, 333syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  ->  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) )
335301, 334anim12d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( E  \  B
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
336335reximdva 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( E  \  B ) )  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  n
) )  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n
) ) ) ) )
337336ralimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( E  \  B
) E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
338285, 337syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  E  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  ->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
339 ovolficc 21615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  \  B
)  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H )  <->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
340287, 74, 339syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H )  <->  A. x  e.  ( E  \  B ) E. n  e.  NN  (
( 1st `  ( H `  n )
)  <_  x  /\  x  <_  ( 2nd `  ( H `  n )
) ) ) )
341338, 274, 3403imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  ( E  \  B )  C_  U. ran  ( [,]  o.  H ) ) )
34219, 341mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  \  B
)  C_  U. ran  ( [,]  o.  H ) )
34317ovollb2 21635 . . . . . 6  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( E  \  B )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  H ) )  -> 
( vol* `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
34474, 342, 343syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
345 supxrre 11515 . . . . . 6  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  x )  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )
346154, 162, 188, 345syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )
)
347344, 346breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( E  \  B ) )  <_  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )
3486, 10, 149, 190, 283, 347le2addd 10166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol* `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) ) )
349 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )
)
35058, 16, 92, 349, 65, 168, 140isumsup2 13617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
351 seqex 12073 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
)  e.  _V
35215, 351eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
353352a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
354 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )
)
35558, 17, 92, 354, 82, 81, 181isumsup2 13617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  ~~>  sup ( ran  U ,  RR ,  <  )
)
35650recnd 9618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T `
 j )  e.  CC )
357164recnd 9618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  e.  CC )
35865recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  e.  CC )
35960, 61, 358syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  e.  CC )
36082recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n )  e.  CC )
36160, 61, 360syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )  e.  CC )
36285eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) `  n )  =  ( ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  n
)  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H ) `  n ) ) )
36360, 61, 362syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  +  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  H
) `  n )
) )
36459, 359, 361, 363seradd 12113 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  j
)  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  j )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) ) `  j ) ) )
36589, 174oveq12i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( T `  j )  +  ( U `  j ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  j )  +  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
) `  j )
)
366364, 90, 3653eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( S `
 j )  =  ( ( T `  j )  +  ( U `  j ) ) )
36758, 92, 350, 353, 355, 356, 357, 366climadd 13413 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) ) )
368 climuni 13334 . . . 4  |-  ( ( S  ~~>  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  /\  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( sup ( ran  T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
369367, 128, 368syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR ,  <  )  +  sup ( ran  U ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
370348, 369breqtrd 4471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol* `  ( E  \  B ) ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
37111, 25, 27, 370, 20letrd 9734 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  B
) )  +  ( vol* `  ( E  \  B ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   [,]cicc 11528   ...cfz 11668    seqcseq 12071   abscabs 13026    ~~> cli 13266   vol*covol 21609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ovol 21611
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