MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ioombl1lem2 21040
Description: Lemma for ioombl1 21043. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
3 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
42, 3ovolsf 20956 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6 frn 5565 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
8 icossxr 11380 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
97, 8syl6ss 3368 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10 supxrcl 11277 . . 3  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
12 ioombl1.v . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
13 ioombl1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpred 11027 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1512, 14readdcld 9413 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )
16 mnfxr 11094 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
18 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
195, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
20 1nn 10333 . . . . 5  |-  1  e.  NN
21 fnfvelrn 5840 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
2219, 20, 21sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
239, 22sseldd 3357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR* )
24 0re 9386 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
25 pnfxr 11092 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
26 icossre 11376 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
28 ffvelrn 5841 . . . . . 6  |-  ( ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
295, 20, 28sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3027, 29sseldi 3354 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR )
31 mnflt 11104 . . . 4  |-  ( ( S `  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( S `  1 ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  <  ( S `  1 ) )
33 supxrub 11287 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  1 )  e.  ran  S )  -> 
( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
349, 22, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
3517, 23, 11, 32, 34xrltletrd 11135 . 2  |-  ( ph  -> -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 ioombl1.f3 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
37 xrre 11141 . 2  |-  ( ( ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  (
( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )  /\  ( -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  E )  +  C
) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3811, 15, 35, 36, 37syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ifcif 3791   <.cop 3883   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   ran crn 4841    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   [,)cico 11302    seqcseq 11806   abscabs 12723   vol*covol 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-ico 11306  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  21042
  Copyright terms: Public domain W3C validator