MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ioombl1lem2 21837
Description: Lemma for ioombl1 21840. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem2
StepHypRef Expression
1 ioombl1.f1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
3 ioombl1.s . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
42, 3ovolsf 21752 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6 frn 5743 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
8 icossxr 11621 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
97, 8syl6ss 3521 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
10 supxrcl 11518 . . 3  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
12 ioombl1.v . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
13 ioombl1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpred 11268 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1512, 14readdcld 9635 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )
16 mnfxr 11335 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
18 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
195, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
20 1nn 10559 . . . . 5  |-  1  e.  NN
21 fnfvelrn 6029 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
2219, 20, 21sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ran  S
)
239, 22sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR* )
24 0re 9608 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
25 pnfxr 11333 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
26 icossre 11617 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
28 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  1  e.  NN )  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
295, 20, 28sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3027, 29sseldi 3507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  e.  RR )
31 mnflt 11345 . . . 4  |-  ( ( S `  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( S `  1 ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  <  ( S `  1 ) )
33 supxrub 11528 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( S `  1 )  e.  ran  S )  -> 
( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
349, 22, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  1
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
3517, 23, 11, 32, 34xrltletrd 11376 . 2  |-  ( ph  -> -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 ioombl1.f3 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
37 xrre 11382 . 2  |-  ( ( ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  (
( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )  /\  ( -oo  <  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  E )  +  C
) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3811, 15, 35, 36, 37syl22anc 1229 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   <.cop 4039   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   ran crn 5006    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,)cico 11543    seqcseq 12087   abscabs 13047   vol*covol 21742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049
This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  21839
  Copyright terms: Public domain W3C validator