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Theorem ioombl1lem1 22388
Description: Lemma for ioombl1 22392. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1
StepHypRef Expression
1 ioombl1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 ioombl1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
4 ioombl1.f1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5 ovolfcl 22298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64, 5sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
76simp1d 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
92, 8ifcld 3958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
10 ioombl1.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
116simp2d 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1210, 11syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
13 min2 11484 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  Q
)
149, 12, 13syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q )
15 df-br 4427 . . . . 5  |-  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q  <->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
1614, 15sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
179, 12ifcld 3958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
18 opelxpi 4886 . . . . 5  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
1917, 12, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2016, 19elind 3656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
2220, 21fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23 max1 11480 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
248, 2, 23syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
256simp3d 1019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2625, 3, 103brtr4g 4458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  Q )
27 breq2 4430 . . . . . . 7  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
28 breq2 4430 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  Q  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
2927, 28ifboth 3951 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  P  <_  Q )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
3024, 26, 29syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
31 df-br 4427 . . . . 5  |-  ( P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
3230, 31sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
33 opelxpi 4886 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
348, 17, 33syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
3532, 34elind 3656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
36 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
3735, 36fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3822, 37jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ifcif 3915   <.cop 4008   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   ran crn 4855    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   RR+crp 11302   (,)cioo 11635    seqcseq 12210   abscabs 13276   vol*covol 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680
This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  22390  ioombl1lem4  22391
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