MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem ioombl1lem1 21175
Description: Lemma for ioombl1 21179. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1
StepHypRef Expression
1 ioombl1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 ioombl1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
4 ioombl1.f1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5 ovolfcl 21085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64, 5sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
76simp1d 1000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
9 ifcl 3942 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
102, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
11 ioombl1.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
126simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1311, 12syl5eqel 2546 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
14 min2 11275 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  Q
)
1510, 13, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q )
16 df-br 4404 . . . . 5  |-  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q  <->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
1715, 16sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
18 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR )
1910, 13, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
20 opelxpi 4982 . . . . 5  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2119, 13, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2217, 21elind 3651 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
2422, 23fmptd 5979 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
25 max1 11271 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
268, 2, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
276simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2827, 3, 113brtr4g 4435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  Q )
29 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
30 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  Q  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
3129, 30ifboth 3936 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  P  <_  Q )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
3226, 28, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
33 df-br 4404 . . . . 5  |-  ( P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
3432, 33sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
35 opelxpi 4982 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
368, 19, 35syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
3734, 36elind 3651 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
38 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
3937, 38fmptd 5979 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4024, 39jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3438    C_ wss 3439   ifcif 3902   <.cop 3994   U.cuni 4202   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   ran crn 4952    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689   supcsup 7804   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   RR+crp 11105   (,)cioo 11414    seqcseq 11926   abscabs 12844   vol*covol 21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538
This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  21177  ioombl1lem4  21178
  Copyright terms: Public domain W3C validator