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Theorem ioombl1lem1 22511
Description: Lemma for ioombl1 22515. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ioombl1.b  |-  B  =  ( A (,) +oo )
ioombl1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioombl1.e  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
ioombl1.v  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
ioombl1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ioombl1.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ioombl1.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ioombl1.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ioombl1.f1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ioombl1.f2  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ioombl1.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
ioombl1.p  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
ioombl1.q  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
ioombl1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
ioombl1.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
Assertion
Ref Expression
ioombl1lem1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    C, n    n, E    n, F    n, G    n, H    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)    Q( n)    T( n)    U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1
StepHypRef Expression
1 ioombl1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 ioombl1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st `  ( F `  n )
)
4 ioombl1.f1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5 ovolfcl 22419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64, 5sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
76simp1d 1020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
92, 8ifcld 3924 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR )
10 ioombl1.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd `  ( F `  n )
)
116simp2d 1021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
1210, 11syl5eqel 2533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
13 min2 11484 . . . . . 6  |-  ( ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <_  Q
)
149, 12, 13syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q )
15 df-br 4403 . . . . 5  |-  ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  <_  Q  <->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
1614, 15sylib 200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e. 
<_  )
179, 12ifcld 3924 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )
18 opelxpi 4866 . . . . 5  |-  ( ( if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  e.  RR  /\  Q  e.  RR )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
1917, 12, 18syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2016, 19elind 3618 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ,  Q >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 ioombl1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) ,  Q >. )
2220, 21fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23 max1 11480 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
248, 2, 23syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) )
256simp3d 1022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
2625, 3, 103brtr4g 4435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  Q )
27 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
28 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  ->  ( P  <_  Q  <->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) ) )
2927, 28ifboth 3917 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  if ( P  <_  A ,  A ,  P )  /\  P  <_  Q )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q ) )
3024, 26, 29syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) )
31 df-br 4403 . . . . 5  |-  ( P  <_  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q )  <->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
3230, 31sylib 200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  <_  )
33 opelxpi 4866 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
)  e.  RR )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
348, 17, 33syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
3532, 34elind 3618 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
36 ioombl1.h . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  <. P ,  if ( if ( P  <_  A ,  A ,  P )  <_  Q ,  if ( P  <_  A ,  A ,  P ) ,  Q
) >. )
3735, 36fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3822, 37jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ifcif 3881   <.cop 3974   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   ran crn 4835    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   supcsup 7954   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   RR+crp 11302   (,)cioo 11635    seqcseq 12213   abscabs 13297   vol*covol 22413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  22513  ioombl1lem4  22514
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