Theorem ioomax 11651

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	|- ( -oo (,) +oo ) = RR

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11375	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 11373	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 11614	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 670	. 2 |- ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
5		rabid2 2984	. . 3 |- ( RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } <-> A. x e. RR ( -oo < x /\ x < +oo ) )
6		mnflt 11385	. . . 4 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7		ltpnf 11383	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
8	6, 7	jca 530	. . 3 |- ( x e. RR -> ( -oo < x /\ x < +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2767	. 2 |- RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2434	1 |- ( -oo (,) +oo ) = RR

Syntax hints:   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {crab 2757   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   +oocpnf 9654   -oocmnf 9655   RR*cxr 9656   < clt 9657   (,)cioo 11581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-ioo 11585

This theorem is referenced by:  unirnioo  11676  resup  12030  reordt  20010  icopnfcld  21565  iocmnfcld  21566  blssioo  21590  reconnlem1  21621  ioombl1  22262  ioombl  22265  mbfdm  22325  ismbf  22327  ismbf2d  22338  ismbf3d  22351  tpr2rico  28333  esumcvgsum  28521  retopscon  29533  asindmre  31453  itgsubsticclem  37123