Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iooinlbub 37694
Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  (/)

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 3810 . 2  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  { A ,  B }  -.  x  e.  ( A (,) B ) )
2 elpri 3976 . . 3  |-  ( x  e.  { A ,  B }  ->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
3 lbioo 11692 . . . . 5  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
4 eleq1 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
53, 4mtbiri 310 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  -.  x  e.  ( A (,) B ) )
6 ubioo 11693 . . . . 5  |-  -.  B  e.  ( A (,) B
)
7 eleq1 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  B  e.  ( A (,) B ) ) )
86, 7mtbiri 310 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  -.  x  e.  ( A (,) B ) )
95, 8jaoi 386 . . 3  |-  ( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  -.  x  e.  ( A (,) B ) )
102, 9syl 17 . 2  |-  ( x  e.  { A ,  B }  ->  -.  x  e.  ( A (,) B
) )
111, 10mprgbir 2771 1  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 375    = wceq 1452    e. wcel 1904    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {cpr 3961  (class class class)co 6308   (,)cioo 11660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-ioo 11664
This theorem is referenced by:  iccdifioo  37712  iccdifprioo  37713
  Copyright terms: Public domain W3C validator