Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioogtlb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ioogtlb 37677
Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioogtlb  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem ioogtlb
StepHypRef Expression
1 elioo2 11711 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
2 simp2 1015 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B )  ->  A  <  C )
31, 2syl6bi 236 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  C ) )
433impia 1212 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    e. wcel 1898   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   RRcr 9569   RR*cxr 9705    < clt 9706   (,)cioo 11669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-ioo 11673
This theorem is referenced by:  iocopn  37706  iooshift  37708  lptre2pt  37806  limcresiooub  37809  limcresioolb  37810  sinaover2ne0  37829  dvbdfbdioolem1  37886  ioodvbdlimc1lem2  37890  ioodvbdlimc1lem2OLD  37892  fourierdlem27  38097  fourierdlem28  38098  fourierdlem31  38101  fourierdlem31OLD  38102  fourierdlem33  38104  fourierdlem40  38111  fourierdlem41  38112  fourierdlem46  38117  fourierdlem47  38118  fourierdlem48  38119  fourierdlem49  38120  fourierdlem57  38128  fourierdlem59  38130  fourierdlem60  38131  fourierdlem61  38132  fourierdlem62  38133  fourierdlem64  38135  fourierdlem65  38136  fourierdlem68  38139  fourierdlem73  38144  fourierdlem76  38147  fourierdlem78  38149  fourierdlem84  38155  fourierdlem90  38161  fourierdlem92  38163  fourierdlem97  38168  fourierdlem103  38174  fourierdlem104  38175  fourierdlem111  38182  sqwvfoura  38193  sqwvfourb  38194  fourierswlem  38195  fouriersw  38196  etransclem23  38223  qndenserrnbllem  38264  hoiqssbllem1  38551  hoiqssbllem2  38552
  Copyright terms: Public domain W3C validator