MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Unicode version

Theorem ioof 11379
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 11316 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 11349 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 3861 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 209 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2527 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2777 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 11296 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6636 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 208 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   -->wf 5409  (class class class)co 6086   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410   (,)cioo 11292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-ioo 11296
This theorem is referenced by:  unirnioo  11381  dfioo2  11382  ioorebas  11383  qtopbaslem  20312  retopbas  20314  qdensere  20324  blssioo  20347  tgioo  20348  tgqioo  20352  re2ndc  20353  xrtgioo  20358  xrge0tsms  20386  bndth  20505  ovolfioo  20926  ovollb  20937  ovolicc2  20980  ovolfs2  21026  ioorf  21028  ioorinv  21031  ioorcl  21032  uniiccdif  21033  uniioovol  21034  uniiccvol  21035  uniioombllem2  21038  uniioombllem3a  21039  uniioombllem3  21040  uniioombllem4  21041  uniioombllem5  21042  uniioombl  21044  opnmblALT  21058  mbfdm  21081  mbfima  21085  mbfid  21089  ismbfd  21093  mbfimaopnlem  21108  i1fd  21134  xrge0tsmsd  26204  iccllyscon  27091  rellyscon  27092  ftc1anc  28428  ftc2nc  28429
  Copyright terms: Public domain W3C validator