MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Unicode version

Theorem ioof 11634
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 11565 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 11598 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 4022 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 209 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2564 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2894 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 11545 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6862 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 208 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   -->wf 5590  (class class class)co 6295   RRcr 9503   RR*cxr 9639    < clt 9640   (,)cioo 11541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-ioo 11545
This theorem is referenced by:  unirnioo  11636  dfioo2  11637  ioorebas  11638  qtopbaslem  21133  retopbas  21135  qdensere  21145  blssioo  21168  tgioo  21169  tgqioo  21173  re2ndc  21174  xrtgioo  21179  xrge0tsms  21207  bndth  21326  ovolfioo  21747  ovollb  21758  ovolicc2  21801  ovolfs2  21848  ioorf  21850  ioorinv  21853  ioorcl  21854  uniiccdif  21855  uniioovol  21856  uniiccvol  21857  uniioombllem2  21860  uniioombllem3a  21861  uniioombllem3  21862  uniioombllem4  21863  uniioombllem5  21864  uniioombl  21866  opnmblALT  21880  mbfdm  21903  mbfima  21907  mbfid  21911  ismbfd  21915  mbfimaopnlem  21930  i1fd  21956  xrge0tsmsd  27591  iccllyscon  28511  rellyscon  28512  ftc1anc  30016  ftc2nc  30017  islptre  31475
  Copyright terms: Public domain W3C validator