MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Unicode version

Theorem ioof 11507
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 11438 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 11471 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
43elpw 3977 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
52, 4mpbir 209 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
61, 5syl6eqelr 2551 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
76rgen2a 2900 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
8 df-ioo 11418 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
98fmpt2 6754 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
107, 9mpbi 208 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   -->wf 5525  (class class class)co 6203   RRcr 9395   RR*cxr 9531    < clt 9532   (,)cioo 11414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-ioo 11418
This theorem is referenced by:  unirnioo  11509  dfioo2  11510  ioorebas  11511  qtopbaslem  20472  retopbas  20474  qdensere  20484  blssioo  20507  tgioo  20508  tgqioo  20512  re2ndc  20513  xrtgioo  20518  xrge0tsms  20546  bndth  20665  ovolfioo  21086  ovollb  21097  ovolicc2  21140  ovolfs2  21187  ioorf  21189  ioorinv  21192  ioorcl  21193  uniiccdif  21194  uniioovol  21195  uniiccvol  21196  uniioombllem2  21199  uniioombllem3a  21200  uniioombllem3  21201  uniioombllem4  21202  uniioombllem5  21203  uniioombl  21205  opnmblALT  21219  mbfdm  21242  mbfima  21246  mbfid  21250  ismbfd  21254  mbfimaopnlem  21269  i1fd  21295  xrge0tsmsd  26418  iccllyscon  27303  rellyscon  27304  ftc1anc  28643  ftc2nc  28644
  Copyright terms: Public domain W3C validator