Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ioodvbdlimc2 37820
Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioodvbdlimc2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ioodvbdlimc2.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
ioodvbdlimc2.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc2.dvbd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc2  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F, y    ph, x, y

Proof of Theorem ioodvbdlimc2
Dummy variables  j 
k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioodvbdlimc2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 ioodvbdlimc2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  B  e.  RR )
5 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
6 ioodvbdlimc2.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
8 ioodvbdlimc2.dmdv . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
10 ioodvbdlimc2.dvbd . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  y )
12 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
1312fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1413cbvmptv 4498 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1514rneqi 5064 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) )  =  ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
1615supeq1i 7966 . . . 4  |-  sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
17 eqid 2453 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A ) ) )  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 )
18 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
j ) )
1918oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B  -  ( 1  /  k ) )  =  ( B  -  ( 1  /  j
) ) )
2019fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
k ) ) )  =  ( F `  ( B  -  (
1  /  j ) ) ) )
2120cbvmptv 4498 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
1  /  ( B  -  A ) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  (
1  /  k ) ) ) )  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
j ) ) ) )
2219cbvmptv 4498 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
1  /  ( B  -  A ) ) )  +  1 ) )  |->  ( B  -  ( 1  /  k
) ) )  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( B  -  ( 1  /  j ) ) )
23 eqid 2453 . . . 4  |-  if ( ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 )  <_  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) ) ,  RR ,  <  )  /  (
x  /  2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) ) ) ,  RR ,  <  )  /  ( x  / 
2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 ) )  =  if ( ( ( |_
`  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 )  <_  (
( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) ) ) ,  RR ,  <  )  /  ( x  / 
2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( sup ( ran  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) ) ,  RR ,  <  )  /  ( x  /  2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )
24 biid 240 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  A  <  B )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  if (
( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 )  <_  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) ) ,  RR ,  <  )  /  (
x  /  2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) ) ) ,  RR ,  <  )  /  ( x  / 
2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
k ) ) ) ) `  j )  -  ( limsup `  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 ) )  |->  ( F `
 ( B  -  ( 1  /  k
) ) ) ) ) ) )  < 
( x  /  2
) )  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
( 1  /  j
) )  <->  ( (
( ( ( (
ph  /\  A  <  B )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  if (
( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 )  <_  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
) ) ,  RR ,  <  )  /  (
x  /  2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( sup ( ran  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) ) ) ,  RR ,  <  )  /  ( x  / 
2 ) ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
k ) ) ) ) `  j )  -  ( limsup `  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 1  /  ( B  -  A )
) )  +  1 ) )  |->  ( F `
 ( B  -  ( 1  /  k
) ) ) ) ) ) )  < 
( x  /  2
) )  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
( 1  /  j
) ) )
252, 4, 5, 7, 9, 11, 16, 17, 21, 22, 23, 24ioodvbdlimc2lem 37818 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  ( limsup `  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
k ) ) ) ) )  e.  ( F lim CC  B ) )
26 ne0i 3739 . . 3  |-  ( (
limsup `  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 1  / 
( B  -  A
) ) )  +  1 ) )  |->  ( F `  ( B  -  ( 1  / 
k ) ) ) ) )  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
2725, 26syl 17 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <  B )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
28 ax-resscn 9601 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
306, 29fssd 5743 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3130adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
32 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
331rexrd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3433adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
353rexrd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3635adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR* )
37 ioo0 11668 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
3834, 36, 37syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ( ( A (,) B )  =  (/) 
<->  B  <_  A )
)
3932, 38mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
4039feq2d 5720 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  <->  F : (/) --> CC ) )
4131, 40mpbid 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  F : (/) --> CC )
423recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4342adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  CC )
4441, 43limcdm0 37708 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ( F lim CC  B )  =  CC )
45 0cn 9640 . . . . 5  |-  0  e.  CC
4645ne0ii 3740 . . . 4  |-  CC  =/=  (/)
4746a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  CC  =/=  (/) )
4844, 47eqnetrd 2693 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
4927, 48, 1, 3ltlecasei 9747 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   2c2 10666   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   |_cfl 12033   abscabs 13309   limsupclsp 13536   lim CC climc 22829    _D cdv 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  38074  fourierdlem113  38093
  Copyright terms: Public domain W3C validator