Theorem ioodvbdlimc2 37820

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc2.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioodvbdlimc2.b	|- ( ph -> B e. RR )
ioodvbdlimc2.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
ioodvbdlimc2.dmdv	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc2.dvbd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc2	|- ( ph -> ( F lim CC B ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F, y   ph, x, y

Proof of Theorem ioodvbdlimc2

Dummy variables j k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc2.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A e. RR )
3		ioodvbdlimc2.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> B e. RR )
5		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A < B )
6		ioodvbdlimc2.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
7	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
8		ioodvbdlimc2.dmdv	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
9	8	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
10		ioodvbdlimc2.dvbd	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
12		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
13	12	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
14	13	cbvmptv 4498	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
15	14	rneqi 5064	. . . . 5 |- ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) = ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
16	15	supeq1i 7966	. . . 4 |- sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
17		eqid 2453	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 )
18		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( 1 / k ) = ( 1 / j ) )
19	18	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B - ( 1 / k ) ) = ( B - ( 1 / j ) ) )
20	19	fveq2d 5874	. . . . 5 |- ( k = j -> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) = ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
21	20	cbvmptv 4498	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
22	19	cbvmptv 4498	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( B - ( 1 / k ) ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( B - ( 1 / j ) ) )
23		eqid 2453	. . . 4 |- if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) = if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) )
24		biid 240	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A < B ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ` j ) - ( limsup ` ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ A < B ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ` j ) - ( limsup ` ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) )
25	2, 4, 5, 7, 9, 11, 16, 17, 21, 22, 23, 24	ioodvbdlimc2lem 37818	. . 3 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( limsup ` ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ) e. ( F lim CC B ) )
26		ne0i 3739	. . 3 |- ( ( limsup ` ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / k ) ) ) ) ) e. ( F lim CC B ) -> ( F lim CC B ) =/= (/) )
27	25, 26	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( F lim CC B ) =/= (/) )
28		ax-resscn 9601	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
30	6, 29	fssd 5743	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
31	30	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
32		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B <_ A )
33	1	rexrd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR* )
34	33	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. RR* )
35	3	rexrd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR* )
36	35	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. RR* )
37		ioo0 11668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
39	32, 38	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( A (,) B ) = (/) )
40	39	feq2d 5720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC <-> F : (/) --> CC ) )
41	31, 40	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> F : (/) --> CC )
42	3	recnd 9674	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
43	42	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. CC )
44	41, 43	limcdm0 37708	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F lim CC B ) = CC )
45		0cn 9640	. . . . 5 |- 0 e. CC
46	45	ne0ii 3740	. . . 4 |- CC =/= (/)
47	46	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> CC =/= (/) )
48	44, 47	eqnetrd 2693	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F lim CC B ) =/= (/) )
49	27, 48, 1, 3	ltlecasei 9747	1 |- ( ph -> ( F lim CC B ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   2c2 10666   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   |_cfl 12033   abscabs 13309   limsupclsp 13536   lim CC climc 22829   _D cdv 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  38074  fourierdlem113  38093