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Theorem ioodvbdlimc1lem1OLD 37745
Description: If  F has bounded derivative on  ( A (,) B ) then a sequence of points in its image converges to its  limsup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) Obsolete version of ioodvbdlimc1lem1 37743 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1OLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1OLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1OLD.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ioodvbdlimc1lem1OLD.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
ioodvbdlimc1lem1OLD.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1OLD.dvbd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
ioodvbdlimc1lem1OLD.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ioodvbdlimc1lem1OLD.r  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1OLD.s  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
ioodvbdlimc1lem1OLD.rcnv  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
ioodvbdlimc1lem1OLD.k  |-  K  =  sup ( { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1OLD  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Distinct variable groups:    A, i,
k, x, z    y, A, i, x, z    B, i, k, x, z    y, B    i, F, j, x   
k, F, z    y, F    i, K, j    k, K    y, K    i, M, j, x    k, M    R, i, j    R, k    y, R    S, i, k, x    ph, i, j, x    ph, k    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( j)    B( j)    R( x, z)    S( y, z, j)    K( x, z)    M( y, z)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 ioodvbdlimc1lem1OLD.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
3 cncff 21923 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
54adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
6 ioodvbdlimc1lem1OLD.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
76ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( R `  j )  e.  ( A (,) B ) )
85, 7ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( R `  j
) )  e.  RR )
9 ioodvbdlimc1lem1OLD.s . . 3  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
108, 9fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  S : ( ZZ>= `  M ) --> RR )
11 ssrab2 3546 . . . . 5  |-  { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )
12 ioodvbdlimc1lem1OLD.k . . . . . 6  |-  K  =  sup ( { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )
13 rpre 11315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1413adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
15 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
1615fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1716cbvmptv 4516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1817rneqi 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) )  =  ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
1918supeq1i 7970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
20 ioodvbdlimc1lem1OLD.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21 ioodvbdlimc1lem1OLD.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
22 ioodvbdlimc1lem1OLD.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
23 ioomidp 37564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )
25 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
27 ioossre 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
29 dvfre 22903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
304, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
31 ioodvbdlimc1lem1OLD.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
3231feq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
3330, 32mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
34 ax-resscn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3633, 35fssd 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
3837abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  e.  RR )
39 ioodvbdlimc1lem1OLD.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
40 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
41 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
4226, 38, 39, 40, 41suprnmpt 37399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
4342simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4419, 43syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 peano2re 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
48 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
49 1red 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5048, 49readdcld 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
5144, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
5248ltp1d 10544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( 0  +  1 ) )
5336, 24ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
5453abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
5553absge0d 13505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )
5642simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
57 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
5857fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6058, 59breq12d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6160cbvralv 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6256, 61sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
63 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
6463fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )
6564breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6665rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
6724, 62, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6848, 54, 44, 55, 67letrd 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6948, 44, 49, 68leadd1dd 10234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7048, 50, 51, 52, 69ltletrd 9802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7170gt0ne0d 10185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7314, 47, 72redivcld 10442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
74 rpgt0 11320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  < 
x )
7574adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  x )
7670adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7714, 47, 75, 76divgt0d 10549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
7873, 77elrpd 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+ )
79 ioodvbdlimc1lem1OLD.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8079adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
81 ioodvbdlimc1lem1OLD.rcnv . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
8281adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  dom 
~~>  )
831climcau 13733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  R  e.  dom  ~~>  )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
8480, 82, 83syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
85 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8685rexralbidv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  w  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8786rspcva 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
8878, 84, 87syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
89 rabn0 3782 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
9088, 89sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )
91 infmssuzclOLD 11254 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9211, 90, 91sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sup ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9312, 92syl5eqel 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9411, 93sseldi 3462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
959a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) ) )
96 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( R `  j )  =  ( R `  i ) )
9796fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  i )
) )
9897adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  i )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  i ) ) )
99 uzss 11186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
10094, 99syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
101100sselda 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1024ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
1036ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
104103, 101ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  ( A (,) B ) )
105102, 104ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  RR )
10695, 98, 101, 105fvmptd 5970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  i )  =  ( F `  ( R `
 i ) ) )
107 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  K  ->  ( R `  j )  =  ( R `  K ) )
108107fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  K  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
109108adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  K )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  K ) ) )
11094adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
111103, 110ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
112102, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  RR )
11395, 109, 110, 112fvmptd 5970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  K )  =  ( F `  ( R `
 K ) ) )
114106, 113oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) )  =  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )
115114fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `
 i ) )  -  ( F `  ( R `  K ) ) ) ) )
116105recnd 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  CC )
117112recnd 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  CC )
118116, 117subcld 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  e.  CC )
119118abscld 13497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
120119adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
12144ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
122121adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1236adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
124123, 94ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
12527, 124sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR )
126125ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
12727, 104sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR )
128127adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
129126, 128resubcld 10054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR )
130122, 129remulcld 9678 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  e.  RR )
13113ad3antlr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  x  e.  RR )
132116adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  i )
)  e.  CC )
133117adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  K )
)  e.  CC )
134132, 133abssubd 13514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) ) )
13520ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A  e.  RR )
13621ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR )
137102adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
13831ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
13962ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
140104adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( A (,) B ) )
141127rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR* )
142141adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR* )
14321rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
144143ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  B  e.  RR* )
145144adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR* )
146 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
14720rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
148147adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
149143adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
150 iooltub 37559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 K )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  K )  <  B )
151148, 149, 124, 150syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  <  B
)
152151ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  B )
153142, 145, 126, 146, 152eliood 37544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( ( R `  i ) (,) B ) )
154135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153dvbdfbdioolem1 37740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
155154simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
156134, 155eqbrtrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
157122, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
158157, 129remulcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  e.  RR )
159128, 126posdifd 10207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  i )  <  ( R `  K )  <->  0  <  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
160146, 159mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
0  <  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )
161129, 160elrpd 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR+ )
162122ltp1d 10544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
163122, 157, 161, 162ltmul1dd 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
16427, 111sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  RR )
165127, 164resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  RR )
166165recnd 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  CC )
167166abscld 13497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  e.  RR )
168167adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
16973ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
170129leabsd 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) ) )
171126recnd 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  CC )
172127recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  CC )
173172adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  CC )
174171, 173abssubd 13514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
175170, 174breqtrd 4448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
176 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  K )
)
177 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  K  ->  ( R `  k )  =  ( R `  K ) )
178177oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  K  ->  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) )  =  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) )
179178fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  -  ( R `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) ) )
180179breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
181176, 180raleqbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
182181elrab 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
18393, 182sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
184183simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
185184r19.21bi 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
186185adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
187129, 168, 169, 175, 186lelttrd 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
18851, 70elrpd 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
189188ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
190129, 131, 189ltmuldiv2d 11393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) )  <  x  <->  ( ( R `  K
)  -  ( R `
 i ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
191187, 190mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  <  x )
192130, 158, 131, 163, 191lttrd 9803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  x )
193120, 130, 131, 156, 192lelttrd 9800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
194 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  ( F `  ( R `  i ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
195194oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  ( ( F `
 ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) ) )
196117subidd 9981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  =  0 )
197195, 196sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  0 )
198197abs00bd 13354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  0 )
19974ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
0  <  x )
200198, 199eqbrtrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
201200adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
202 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
203164ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
204127ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  K )  =  ( R `  i ) )
206205eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )
207206necon3bi 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( R `  i
)  =  ( R `
 K )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
208207adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
209 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  ->  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
210203, 204, 208, 209lttri5d 37471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
211119adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
212121, 165remulcld 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
213212adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
21413ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  x  e.  RR )
21520ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A  e.  RR )
21621ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR )
217102adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
21831ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
21944ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
22062ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
221111adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( A (,) B ) )
222125rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR* )
223222ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR* )
224216rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR* )
225127adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
226 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
227147ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A  e.  RR* )
228 iooltub 37559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 i )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  i )  <  B )
229227, 144, 104, 228syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  <  B
)
230229adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  <  B )
231223, 224, 225, 226, 230eliood 37544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( ( R `  K ) (,) B ) )
232215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231dvbdfbdioolem1 37740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
233232simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) ) )
234 1red 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
1  e.  RR )
235219, 234readdcld 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
236164adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
237225, 236resubcld 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR )
238235, 237remulcld 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  e.  RR )
239219, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
240236, 225posdifd 10207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  K )  <  ( R `  i )  <->  0  <  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
241226, 240mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
0  <  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )
242237, 241elrpd 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR+ )
243219ltp1d 10544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
244219, 239, 242, 243ltmul1dd 11400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
245167adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
24673ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
247237leabsd 13476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
248185adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
249237, 245, 246, 247, 248lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
250188ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
251237, 214, 250ltmuldiv2d 11393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  x  <->  ( ( R `  i
)  -  ( R `
 K ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
252249, 251mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  x )
253213, 238, 214, 244, 252lttrd 9803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  x )
254211, 213, 214, 233, 253lelttrd 9800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
255202, 210, 254syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
256201, 255pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
257193, 256pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
258115, 257eqbrtrd 4444 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)
259258ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x )
260 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( S `  k )  =  ( S `  K ) )
261260oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) )  =  ( ( S `
 i )  -  ( S `  K ) ) )
262261fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( S `
 i )  -  ( S `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) ) ) )
263262breq1d 4433 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
) )
264176, 263raleqbidv 3036 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x ) )
265264rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
26694, 259, 265syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
267266ralrimiva 2836 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x )
2681, 10, 267caurcvgOLD 13742 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   abscabs 13297   limsupclspold 13524    ~~> cli 13547   -cn->ccncf 21906    _D cdv 22816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsupOLD 13526  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820
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