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Theorem ioodvbdlimc1lem1 31931
Description: If  F has bounded derivative on  ( A (,) B ) then a sequence of points in its image converges to its  limsup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ioodvbdlimc1lem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
ioodvbdlimc1lem1.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.dvbd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
ioodvbdlimc1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ioodvbdlimc1lem1.r  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.s  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
ioodvbdlimc1lem1.rcnv  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
ioodvbdlimc1lem1.k  |-  K  =  sup ( { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Distinct variable groups:    A, i,
k, x, z    y, A, i, x, z    B, i, k, x, z    y, B    i, F, j, x   
k, F, z    y, F    i, K, j    k, K    y, K    i, M, j, x    k, M    R, i, j    R, k    y, R    S, i, k, x    ph, i, j, x    ph, k    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( j)    B( j)    R( x, z)    S( y, z, j)    K( x, z)    M( y, z)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 ioodvbdlimc1lem1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
3 cncff 21523 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
6 ioodvbdlimc1lem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
76ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( R `  j )  e.  ( A (,) B ) )
85, 7ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( R `  j
) )  e.  RR )
9 ioodvbdlimc1lem1.s . . 3  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
108, 9fmptd 6056 . 2  |-  ( ph  ->  S : ( ZZ>= `  M ) --> RR )
11 ssrab2 3581 . . . . 5  |-  { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )
12 ioodvbdlimc1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  sup ( { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )
13 rpre 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
1615fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1716cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1817rneqi 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) )  =  ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
1918supeq1i 7924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
20 ioodvbdlimc1lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21 ioodvbdlimc1lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
22 ioodvbdlimc1lem1.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
23 ioomidp 31757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )
25 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
27 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
29 dvfre 22480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
304, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
31 ioodvbdlimc1lem1.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
3231feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
3330, 32mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
34 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3633, 35fssd 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
3837abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  e.  RR )
39 ioodvbdlimc1lem1.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
41 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
4226, 38, 39, 40, 41suprnmpt 31654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
4342simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4419, 43syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
48 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
49 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5048, 49readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
5144, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
5248ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( 0  +  1 ) )
5336, 24ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
5453abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
5553absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )
5642simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
57 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
5857fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6058, 59breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6160cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6256, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
63 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
6463fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )
6564breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6665rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
6724, 62, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6848, 54, 44, 55, 67letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6948, 44, 49, 68leadd1dd 10187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7048, 50, 51, 52, 69ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7170gt0ne0d 10138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7314, 47, 72redivcld 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
74 rpgt0 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  < 
x )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  x )
7670adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7714, 47, 75, 76divgt0d 10501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
7873, 77elrpd 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+ )
79 ioodvbdlimc1lem1.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
81 ioodvbdlimc1lem1.rcnv . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  dom 
~~>  )
831climcau 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  R  e.  dom  ~~>  )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
8480, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
85 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8685rexralbidv 2976 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  w  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8786rspcva 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
8878, 84, 87syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
89 rabn0 3814 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
9088, 89sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )
91 infmssuzcl 11190 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9211, 90, 91sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sup ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9312, 92syl5eqel 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9411, 93sseldi 3497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
959a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) ) )
96 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( R `  j )  =  ( R `  i ) )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  i )
) )
9897adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  i )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  i ) ) )
99 uzss 11126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
10094, 99syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
101100sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1024ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
1036ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
104103, 101ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  ( A (,) B ) )
105102, 104ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  RR )
10695, 98, 101, 105fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  i )  =  ( F `  ( R `
 i ) ) )
107 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  K  ->  ( R `  j )  =  ( R `  K ) )
108107fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  K  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
109108adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  K )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  K ) ) )
11094adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
111103, 110ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
112102, 111ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  RR )
11395, 109, 110, 112fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  K )  =  ( F `  ( R `
 K ) ) )
114106, 113oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) )  =  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )
115114fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `
 i ) )  -  ( F `  ( R `  K ) ) ) ) )
116105recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  CC )
117112recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  CC )
118116, 117subcld 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  e.  CC )
119118abscld 13279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
120119adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
12144ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
122121adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1236adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
124123, 94ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
12527, 124sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR )
126125ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
12727, 104sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR )
128127adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
129126, 128resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR )
130122, 129remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  e.  RR )
13113ad3antlr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  x  e.  RR )
132116adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  i )
)  e.  CC )
133117adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  K )
)  e.  CC )
134132, 133abssubd 13296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) ) )
13520ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A  e.  RR )
13621ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR )
137102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
13831ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
13962ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
140104adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( A (,) B ) )
141127rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR* )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR* )
14321rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
144143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  B  e.  RR* )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR* )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
14720rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
149143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
150 iooltub 31751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 K )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  K )  <  B )
151148, 149, 124, 150syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  <  B
)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  B )
153142, 145, 126, 146, 152eliood 31734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( ( R `  i ) (,) B ) )
154135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153dvbdfbdioolem1 31928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
155154simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
156134, 155eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
157122, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
158157, 129remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  e.  RR )
159128, 126posdifd 10160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  i )  <  ( R `  K )  <->  0  <  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
160146, 159mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
0  <  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )
161129, 160elrpd 11279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR+ )
162122ltp1d 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
163122, 157, 161, 162ltmul1dd 11332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
16427, 111sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  RR )
165127, 164resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  RR )
166165recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  CC )
167166abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  e.  RR )
168167adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
16973ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
170129leabsd 13258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) ) )
171126recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  CC )
172127recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  CC )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  CC )
174171, 173abssubd 13296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
175170, 174breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
176 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  K )
)
177 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  K  ->  ( R `  k )  =  ( R `  K ) )
178177oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  K  ->  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) )  =  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) )
179178fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  -  ( R `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) ) )
180179breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
181176, 180raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
182181elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
18393, 182sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
184183simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
185184r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
186185adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
187129, 168, 169, 175, 186lelttrd 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
18851, 70elrpd 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
189188ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
190129, 131, 189ltmuldiv2d 11325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) )  <  x  <->  ( ( R `  K
)  -  ( R `
 i ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
191187, 190mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  <  x )
192130, 158, 131, 163, 191lttrd 9760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  x )
193120, 130, 131, 156, 192lelttrd 9757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
194 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  ( F `  ( R `  i ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
195194oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  ( ( F `
 ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) ) )
196117subidd 9938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  =  0 )
197195, 196sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  0 )
198197abs00bd 13136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  0 )
19974ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
0  <  x )
200198, 199eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
201200adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
202 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
203164ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
204127ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  K )  =  ( R `  i ) )
206205eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )
207206necon3bi 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( R `  i
)  =  ( R `
 K )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
208207adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
209 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  ->  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
210203, 204, 208, 209lttri5d 31702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
211119adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
212121, 165remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
213212adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
21413ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  x  e.  RR )
21520ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A  e.  RR )
21621ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR )
217102adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
21831ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
21944ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
22062ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
221111adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( A (,) B ) )
222125rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR* )
223222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR* )
224216rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR* )
225127adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
226 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
227147ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A  e.  RR* )
228 iooltub 31751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 i )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  i )  <  B )
229227, 144, 104, 228syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  <  B
)
230229adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  <  B )
231223, 224, 225, 226, 230eliood 31734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( ( R `  K ) (,) B ) )
232215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231dvbdfbdioolem1 31928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
233232simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) ) )
234 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
1  e.  RR )
235219, 234readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
236164adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
237225, 236resubcld 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR )
238235, 237remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  e.  RR )
239219, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
240236, 225posdifd 10160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  K )  <  ( R `  i )  <->  0  <  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
241226, 240mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
0  <  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )
242237, 241elrpd 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR+ )
243219ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
244219, 239, 242, 243ltmul1dd 11332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
245167adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
24673ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
247237leabsd 13258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
248185adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
249237, 245, 246, 247, 248lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
250188ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
251237, 214, 250ltmuldiv2d 11325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  x  <->  ( ( R `  i
)  -  ( R `
 K ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
252249, 251mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  x )
253213, 238, 214, 244, 252lttrd 9760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  x )
254211, 213, 214, 233, 253lelttrd 9757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
255202, 210, 254syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
256201, 255pm2.61dan 791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
257193, 256pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
258115, 257eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)
259258ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x )
260 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( S `  k )  =  ( S `  K ) )
261260oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) )  =  ( ( S `
 i )  -  ( S `  K ) ) )
262261fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( S `
 i )  -  ( S `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) ) ) )
263262breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
) )
264176, 263raleqbidv 3068 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x ) )
265264rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
26694, 259, 265syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
267266ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x )
2681, 10, 267caurcvg 13511 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   abscabs 13079   limsupclsp 13305    ~~> cli 13319   -cn->ccncf 21506    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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