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Theorem ioodvbdlimc1lem1 37900
 Description: If has bounded derivative on then a sequence of points in its image converges to its . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1.a
ioodvbdlimc1lem1.b
ioodvbdlimc1lem1.altb
ioodvbdlimc1lem1.f
ioodvbdlimc1lem1.dmdv
ioodvbdlimc1lem1.dvbd
ioodvbdlimc1lem1.m
ioodvbdlimc1lem1.r
ioodvbdlimc1lem1.s
ioodvbdlimc1lem1.rcnv
ioodvbdlimc1lem1.k inf
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2
2 ioodvbdlimc1lem1.f . . . . . 6
3 cncff 22003 . . . . . 6
42, 3syl 17 . . . . 5
54adantr 472 . . . 4
6 ioodvbdlimc1lem1.r . . . . 5
76ffvelrnda 6037 . . . 4
85, 7ffvelrnd 6038 . . 3
9 ioodvbdlimc1lem1.s . . 3
108, 9fmptd 6061 . 2
11 ssrab2 3500 . . . . 5
12 ioodvbdlimc1lem1.k . . . . . 6 inf
13 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12
1413adantl 473 . . . . . . . . . . 11
15 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . 14
20 ioodvbdlimc1lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 ioodvbdlimc1lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22 ioodvbdlimc1lem1.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 ioomidp 37711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2420, 21, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
29 dvfre 22984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
304, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31 ioodvbdlimc1lem1.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3330, 32mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3633, 35fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 ioodvbdlimc1lem1.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4226, 38, 39, 40, 41suprnmpt 37512 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14
4419, 43syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
46 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11
48 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . 14
49 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15
5048, 49readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
5144, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5248ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . 14
5336, 24ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5553absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5642simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6058, 59breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6256, 61sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6724, 62, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6848, 54, 44, 55, 67letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15
6948, 44, 49, 68leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . . 14
7048, 50, 51, 52, 69ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . 13
7170gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . 12
7271adantr 472 . . . . . . . . . . 11
7314, 47, 72redivcld 10457 . . . . . . . . . 10
74 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . 12
7574adantl 473 . . . . . . . . . . 11
7670adantr 472 . . . . . . . . . . 11
7714, 47, 75, 76divgt0d 10564 . . . . . . . . . 10
7873, 77elrpd 11361 . . . . . . . . 9
79 ioodvbdlimc1lem1.m . . . . . . . . . . 11
8079adantr 472 . . . . . . . . . 10
81 ioodvbdlimc1lem1.rcnv . . . . . . . . . . 11
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10
831climcau 13811 . . . . . . . . . 10
8480, 82, 83syl2anc 673 . . . . . . . . 9
85 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
8685rexralbidv 2898 . . . . . . . . . 10
8786rspcva 3134 . . . . . . . . 9
8878, 84, 87syl2anc 673 . . . . . . . 8
89 rabn0 3755 . . . . . . . 8
9088, 89sylibr 217 . . . . . . 7
91 infssuzcl 11268 . . . . . . 7 inf
9211, 90, 91sylancr 676 . . . . . 6 inf
9312, 92syl5eqel 2553 . . . . 5
9411, 93sseldi 3416 . . . 4
959a1i 11 . . . . . . . . 9
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
9796fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
9897adantl 473 . . . . . . . . 9
99 uzss 11203 . . . . . . . . . . 11
10094, 99syl 17 . . . . . . . . . 10
101100sselda 3418 . . . . . . . . 9
1024ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
1036ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
104103, 101ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
105102, 104ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
10695, 98, 101, 105fvmptd 5969 . . . . . . . 8
107 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
108107fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
109108adantl 473 . . . . . . . . 9
11094adantr 472 . . . . . . . . 9
111103, 110ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
112102, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
11395, 109, 110, 112fvmptd 5969 . . . . . . . 8
114106, 113oveq12d 6326 . . . . . . 7
115114fveq2d 5883 . . . . . 6
116105recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
117112recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
118116, 117subcld 10005 . . . . . . . . . 10
119118abscld 13575 . . . . . . . . 9
120119adantr 472 . . . . . . . 8
12144ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
122121adantr 472 . . . . . . . . 9
1236adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
124123, 94ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
12527, 124sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
126125ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
12727, 104sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10
129126, 128resubcld 10068 . . . . . . . . 9
130122, 129remulcld 9689 . . . . . . . 8
13113ad3antlr 745 . . . . . . . 8
132116adantr 472 . . . . . . . . . 10
133117adantr 472 . . . . . . . . . 10
134132, 133abssubd 13592 . . . . . . . . 9
13520ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
13621ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
137102adantr 472 . . . . . . . . . . 11
13831ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
13962ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
140104adantr 472 . . . . . . . . . . 11
141127rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
14321rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
144143ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
146 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
14720rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
149143adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
150 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14
151148, 149, 124, 150syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
153142, 145, 126, 146, 152eliood 37691 . . . . . . . . . . 11
154135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153dvbdfbdioolem1 37897 . . . . . . . . . 10
155154simpld 466 . . . . . . . . 9
156134, 155eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8
157122, 46syl 17 . . . . . . . . . 10
158157, 129remulcld 9689 . . . . . . . . 9
159128, 126posdifd 10221 . . . . . . . . . . . 12
160146, 159mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
161129, 160elrpd 11361 . . . . . . . . . 10
162122ltp1d 10559 . . . . . . . . . 10
163122, 157, 161, 162ltmul1dd 11416 . . . . . . . . 9
16427, 111sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
165127, 164resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14
166165recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
167166abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
168167adantr 472 . . . . . . . . . . 11
16973ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
170129leabsd 13553 . . . . . . . . . . . 12
171126recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
172127recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
173172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
174171, 173abssubd 13592 . . . . . . . . . . . 12
175170, 174breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11
176 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
179178fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180179breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181176, 180raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182181elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15
18393, 182sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
184183simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13
185184r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12
186185adantr 472 . . . . . . . . . . 11
187129, 168, 169, 175, 186lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
18851, 70elrpd 11361 . . . . . . . . . . . 12
189188ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
190129, 131, 189ltmuldiv2d 11409 . . . . . . . . . 10
191187, 190mpbird 240 . . . . . . . . 9
192130, 158, 131, 163, 191lttrd 9813 . . . . . . . 8
193120, 130, 131, 156, 192lelttrd 9810 . . . . . . 7
194 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
195194oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
196117subidd 9993 . . . . . . . . . . . 12
197195, 196sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11
198197abs00bd 13431 . . . . . . . . . 10
19974ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10
200198, 199eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
201200adantlr 729 . . . . . . . 8
202 simpll 768 . . . . . . . . 9
203164ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
204127ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
205 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
206205eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
207206necon3bi 2669 . . . . . . . . . . 11
208207adantl 473 . . . . . . . . . 10
209 simplr 770 . . . . . . . . . 10
210203, 204, 208, 209lttri5d 37605 . . . . . . . . 9
211119adantr 472 . . . . . . . . . 10
212121, 165remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
213212adantr 472 . . . . . . . . . 10
21413ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10
21520ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
21621ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
217102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
21831ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
21944ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
22062ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
221111adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
222125rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
223222ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
224216rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
225127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
226 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
227147ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
228 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . 15
229227, 144, 104, 228syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
230229adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
231223, 224, 225, 226, 230eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12
232215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231dvbdfbdioolem1 37897 . . . . . . . . . . 11
233232simpld 466 . . . . . . . . . 10
234 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13
235219, 234readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12
236164adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
237225, 236resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
238235, 237remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
239219, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12
240236, 225posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . 14
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