Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc1lem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ioodvbdlimc1lem1 37900
Description: If  F has bounded derivative on  ( A (,) B ) then a sequence of points in its image converges to its  limsup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ioodvbdlimc1lem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ioodvbdlimc1lem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
ioodvbdlimc1lem1.dmdv  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.dvbd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
ioodvbdlimc1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ioodvbdlimc1lem1.r  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.s  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
ioodvbdlimc1lem1.rcnv  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
ioodvbdlimc1lem1.k  |-  K  = inf ( { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Distinct variable groups:    A, i,
k, x, z    y, A, i, x, z    B, i, k, x, z    y, B    i, F, j, x   
k, F, z    y, F    i, K, j    k, K    y, K    i, M, j, x    k, M    R, i, j    R, k    y, R    S, i, k, x    ph, i, j, x    ph, k    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( j)    B( j)    R( x, z)    S( y, z, j)    K( x, z)    M( y, z)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 ioodvbdlimc1lem1.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
3 cncff 22003 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
54adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
6 ioodvbdlimc1lem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : ( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
76ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( R `  j )  e.  ( A (,) B ) )
85, 7ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( R `  j
) )  e.  RR )
9 ioodvbdlimc1lem1.s . . 3  |-  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) )
108, 9fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  S : ( ZZ>= `  M ) --> RR )
11 ssrab2 3500 . . . . 5  |-  { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )
12 ioodvbdlimc1lem1.k . . . . . 6  |-  K  = inf ( { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  <  )
13 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
15 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1716cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
1817rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) )  =  ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
1918supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
20 ioodvbdlimc1lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21 ioodvbdlimc1lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
22 ioodvbdlimc1lem1.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
23 ioomidp 37711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B ) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B ) )
25 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
27 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
29 dvfre 22984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
304, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
31 ioodvbdlimc1lem1.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
3231feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
3330, 32mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
34 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3633, 35fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
3837abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  e.  RR )
39 ioodvbdlimc1lem1.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )  <_  y )
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )
4226, 38, 39, 40, 41suprnmpt 37512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
4342simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4419, 43syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
48 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
49 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5048, 49readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
5144, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
5248ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( 0  +  1 ) )
5336, 24ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
5453abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
5553absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) )
5642simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
57 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
5857fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6058, 59breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6160cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  y
) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
)  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6256, 61sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) )
6564breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( A  +  B )  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  y )
)  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
6665rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  F ) `  ( ( A  +  B )  /  2
) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
6724, 62, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6848, 54, 44, 55, 67letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  ) )
6948, 44, 49, 68leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7048, 50, 51, 52, 69ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7170gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  =/=  0 )
7314, 47, 72redivcld 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
74 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  < 
x )
7574adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  x )
7670adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
7714, 47, 75, 76divgt0d 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
7873, 77elrpd 11361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+ )
79 ioodvbdlimc1lem1.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8079adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
81 ioodvbdlimc1lem1.rcnv . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  dom  ~~>  )
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  dom 
~~>  )
831climcau 13811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  R  e.  dom  ~~>  )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
8480, 82, 83syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )
85 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8685rexralbidv 2898 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  w  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
8786rspcva 3134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. w  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  w )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
8878, 84, 87syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
89 rabn0 3755 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
9088, 89sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )
91 infssuzcl 11268 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  { k  e.  (
ZZ>= `  M )  | 
A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  =/=  (/) )  -> inf ( {
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9211, 90, 91sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  -> inf ( {
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9312, 92syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) } )
9411, 93sseldi 3416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
959a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  S  =  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  ( F `  ( R `
 j ) ) ) )
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( R `  j )  =  ( R `  i ) )
9796fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  i )
) )
9897adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  i )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  i ) ) )
99 uzss 11203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
10094, 99syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
101100sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1024ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
1036ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
104103, 101ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  ( A (,) B ) )
105102, 104ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  RR )
10695, 98, 101, 105fvmptd 5969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  i )  =  ( F `  ( R `
 i ) ) )
107 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  K  ->  ( R `  j )  =  ( R `  K ) )
108107fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  K  ->  ( F `  ( R `  j ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
109108adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  j  =  K )  ->  ( F `  ( R `  j )
)  =  ( F `
 ( R `  K ) ) )
11094adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
111103, 110ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
112102, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  RR )
11395, 109, 110, 112fvmptd 5969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( S `  K )  =  ( F `  ( R `
 K ) ) )
114106, 113oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) )  =  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )
115114fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `
 i ) )  -  ( F `  ( R `  K ) ) ) ) )
116105recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  i
) )  e.  CC )
117112recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( R `  K
) )  e.  CC )
118116, 117subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  e.  CC )
119118abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
120119adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
12144ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
122121adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1236adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R :
( ZZ>= `  M ) --> ( A (,) B ) )
124123, 94ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  ( A (,) B ) )
12527, 124sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR )
126125ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
12727, 104sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR )
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
129126, 128resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR )
130122, 129remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  e.  RR )
13113ad3antlr 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  x  e.  RR )
132116adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  i )
)  e.  CC )
133117adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( F `  ( R `  K )
)  e.  CC )
134132, 133abssubd 13592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) ) )
13520ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A  e.  RR )
13621ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR )
137102adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
13831ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
13962ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
140104adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( A (,) B ) )
141127rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  RR* )
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR* )
14321rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
144143ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  B  e.  RR* )
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  B  e.  RR* )
146 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
14720rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
149143adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
150 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 K )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  K )  <  B )
151148, 149, 124, 150syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  <  B
)
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  B )
153142, 145, 126, 146, 152eliood 37691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( ( R `  i ) (,) B ) )
154135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153dvbdfbdioolem1 37897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
155154simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  K )
)  -  ( F `
 ( R `  i ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
156134, 155eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) ) )
157122, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
158157, 129remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  e.  RR )
159128, 126posdifd 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  i )  <  ( R `  K )  <->  0  <  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
160146, 159mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
0  <  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )
161129, 160elrpd 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  e.  RR+ )
162122ltp1d 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
163122, 157, 161, 162ltmul1dd 11416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 K )  -  ( R `  i ) ) ) )
16427, 111sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  K )  e.  RR )
165127, 164resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  RR )
166165recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) )  e.  CC )
167166abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  e.  RR )
168167adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
16973ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
170129leabsd 13553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) ) )
171126recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  CC )
172127recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  e.  CC )
173172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  CC )
174171, 173abssubd 13592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
175170, 174breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
176 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  K )
)
177 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  K  ->  ( R `  k )  =  ( R `  K ) )
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  K  ->  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) )  =  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) )
179178fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( R `
 i )  -  ( R `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) ) )
180179breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 k ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
181176, 180raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
182181elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { k  e.  ( ZZ>= `  M )  |  A. i  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  k ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) }  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
18393, 182sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
184183simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
185184r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  (
x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
186185adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
187129, 168, 169, 175, 186lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( R `  K )  -  ( R `  i )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
18851, 70elrpd 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
189188ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
190129, 131, 189ltmuldiv2d 11409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i )
) )  <  x  <->  ( ( R `  K
)  -  ( R `
 i ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
191187, 190mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  K )  -  ( R `  i ) ) )  <  x )
192130, 158, 131, 163, 191lttrd 9813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  K
)  -  ( R `
 i ) ) )  <  x )
193120, 130, 131, 156, 192lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
194 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  ( F `  ( R `  i ) )  =  ( F `  ( R `  K )
) )
195194oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  i )  =  ( R `  K )  ->  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  ( ( F `
 ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) ) )
196117subidd 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( F `  ( R `  K ) )  -  ( F `  ( R `
 K ) ) )  =  0 )
197195, 196sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) )  =  0 )
198197abs00bd 13431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  =  0 )
19974ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
0  <  x )
200198, 199eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
201200adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
202 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
203164ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
204127ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  K )  =  ( R `  i ) )
206205eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  K )  =  ( R `  i )  ->  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )
207206necon3bi 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( R `  i
)  =  ( R `
 K )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
208207adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  =/=  ( R `
 i ) )
209 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  ->  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )
210203, 204, 208, 209lttri5d 37605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
211119adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  e.  RR )
212121, 165remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
213212adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
21413ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  x  e.  RR )
21520ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A  e.  RR )
21621ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR )
217102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
21831ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
21944ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
22062ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) )  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
221111adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  ( A (,) B ) )
222125rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R `  K )  e.  RR* )
223222ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR* )
224216rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  B  e.  RR* )
225127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  RR )
226 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  <  ( R `  i ) )
227147ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A  e.  RR* )
228 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( R `
 i )  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( R `  i )  <  B )
229227, 144, 104, 228syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( R `  i )  <  B
)
230229adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  <  B )
231223, 224, 225, 226, 230eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  i
)  e.  ( ( R `  K ) (,) B ) )
232215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231dvbdfbdioolem1 37897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  ( B  -  A )
) ) )
233232simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) ) )
234 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
1  e.  RR )
235219, 234readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
236164adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( R `  K
)  e.  RR )
237225, 236resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR )
238235, 237remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  e.  RR )
239219, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR )
240236, 225posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  K )  <  ( R `  i )  <->  0  <  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
241226, 240mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
0  <  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )
242237, 241elrpd 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  e.  RR+ )
243219ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  <  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )
244219, 239, 242, 243ltmul1dd 11416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( ( sup ( ran  (
z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `
 i )  -  ( R `  K ) ) ) )
245167adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  e.  RR )
24673ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR )
247237leabsd 13553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) ) )
248185adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
249237, 245, 246, 247, 248lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( R `  i )  -  ( R `  K )
)  <  ( x  /  ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
250188ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
251237, 214, 250ltmuldiv2d 11409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  z
) ) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K )
) )  <  x  <->  ( ( R `  i
)  -  ( R `
 K ) )  <  ( x  / 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
252249, 251mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( ( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  +  1 )  x.  ( ( R `  i )  -  ( R `  K ) ) )  <  x )
253213, 238, 214, 244, 252lttrd 9813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( sup ( ran  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  z )
) ) ,  RR ,  <  )  x.  (
( R `  i
)  -  ( R `
 K ) ) )  <  x )
254211, 213, 214, 233, 253lelttrd 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( R `  K )  <  ( R `  i ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
255202, 210, 254syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  /\  -.  ( R `
 i )  < 
( R `  K
) )  /\  -.  ( R `  i )  =  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
256201, 255pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  -.  ( R `  i
)  <  ( R `  K ) )  -> 
( abs `  (
( F `  ( R `  i )
)  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
257193, 256pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  ( R `  i ) )  -  ( F `
 ( R `  K ) ) ) )  <  x )
258115, 257eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)
259258ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x )
260 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( S `  k )  =  ( S `  K ) )
261260oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) )  =  ( ( S `
 i )  -  ( S `  K ) ) )
262261fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( abs `  ( ( S `
 i )  -  ( S `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K ) ) ) )
263262breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
) )
264176, 263raleqbidv 2987 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  K )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 K ) ) )  <  x ) )
265264rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  K ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  K )
) )  <  x
)  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
26694, 259, 265syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( abs `  ( ( S `  i )  -  ( S `  k ) ) )  <  x )
267266ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ( ZZ>= `  M ) A. i  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( S `  i
)  -  ( S `
 k ) ) )  <  x )
2681, 10, 267caurcvg 13819 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( limsup `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   abscabs 13374   limsupclsp 13601    ~~> cli 13625   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc2lem  37905
  Copyright terms: Public domain W3C validator