Theorem ioodisj 15364

Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint.

Assertion

Ref	Expression
ioodisj	|- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> ((A(,)B) i^i (C(,)D)) = (/))

Proof of Theorem ioodisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. . 3 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> B <_ C)
2		xrlttr 6728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C < x /\ x < B) -> C < B))
3		xrltnle 6671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> (C < B <-> -. B <_ C))
4	3	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> (C < B <-> -. B <_ C))
5	2, 4	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C < x /\ x < B) -> -. B <_ C))
6	5	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> (C < x -> (x < B -> -. B <_ C)))
7	6	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR*) -> (x < B -> (C < x -> -. B <_ C)))
8	7	3exp 1066	. . . . . . . . . 10 |- (C e. RR* -> (x e. RR* -> (B e. RR* -> (x < B -> (C < x -> -. B <_ C)))))
9	8	com3r 39	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR* -> (C e. RR* -> (x e. RR* -> (x < B -> (C < x -> -. B <_ C)))))
10	9	imp5g 15332	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR* /\ C e. RR*) -> (((x e. RR* /\ x < B) /\ C < x) -> -. B <_ C))
11	10	ad2ant2lr 446	. . . . . . 7 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) -> (((x e. RR* /\ x < B) /\ C < x) -> -. B <_ C))
12	11	adantr 425	. . . . . 6 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (((x e. RR* /\ x < B) /\ C < x) -> -. B <_ C))
13		elioo1 7545	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (x e. (A(,)B) <-> (x e. RR* /\ A < x /\ x < B)))
14		3simpb 873	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR* /\ A < x /\ x < B) -> (x e. RR* /\ x < B))
15	13, 14	syl6bi 231	. . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (x e. (A(,)B) -> (x e. RR* /\ x < B)))
16	15	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (x e. (A(,)B) -> (x e. RR* /\ x < B)))
17		elioo1 7545	. . . . . . . 8 |- ((C e. RR* /\ D e. RR*) -> (x e. (C(,)D) <-> (x e. RR* /\ C < x /\ x < D)))
18	17	ad2antlr 441	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (x e. (C(,)D) <-> (x e. RR* /\ C < x /\ x < D)))
19		simp2 877	. . . . . . 7 |- ((x e. RR* /\ C < x /\ x < D) -> C < x)
20	18, 19	syl6bi 231	. . . . . 6 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (x e. (C(,)D) -> C < x))
21	12, 16, 20	syl2and 508	. . . . 5 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> ((x e. (A(,)B) /\ x e. (C(,)D)) -> -. B <_ C))
22		elin 2786	. . . . 5 |- (x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)) <-> (x e. (A(,)B) /\ x e. (C(,)D)))
23	21, 22	syl5ib 223	. . . 4 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)) -> -. B <_ C))
24	23	19.23adv 1584	. . 3 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> (E.x x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)) -> -. B <_ C))
25	1, 24	mt2d 126	. 2 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> -. E.x x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)))
26		eq0 2889	. . 3 |- (((A(,)B) i^i (C(,)D)) = (/) <-> A.x -. x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)))
27		alnex 1380	. . 3 |- (A.x -. x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)) <-> -. E.x x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)))
28	26, 27	bitr2i 191	. 2 |- (-. E.x x e. ((A(,)B) i^i (C(,)D)) <-> ((A(,)B) i^i (C(,)D)) = (/))
29	25, 28	sylib 215	1 |- ((((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ (C e. RR* /\ D e. RR*)) /\ B <_ C) -> ((A(,)B) i^i (C(,)D)) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   i^i cin 2592  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524

This theorem is referenced by:  reconnlem1 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ioo 7528

Copyright terms: Public domain