Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocmbl Structured version   Unicode version

Theorem iocmbl 35544
Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocmbl  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )

Proof of Theorem iocmbl
StepHypRef Expression
1 rexr 9669 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 ioounsn 35541 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
31, 2syl3an2 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
4 ioombl 22267 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5 iccid 11627 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
61, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
7 iccmbl 22268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,] B
)  e.  dom  vol )
87anidms 643 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  e. 
dom  vol )
96, 8eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  { B }  e.  dom  vol )
109adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  { B }  e.  dom  vol )
11 unmbl 22240 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\ 
{ B }  e.  dom  vol )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
124, 10, 11sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
13123adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
143, 13eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
15143expa 1197 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  ( A (,] B )  e.  dom  vol )
16 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  e. 
RR* )
17 xrlenlt 9682 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
181, 16, 17syl2anr 476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
1918biimp3ar 1331 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  B  <_  A )
20 ioc0 11629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,] B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
2120biimp3ar 1331 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
221, 21syl3an2 1264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
23 0mbl 22242 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2498 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2519, 24syld3an3 1275 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
26253expa 1197 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2715, 26pm2.61dan 792 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395   dom cdm 4823  (class class class)co 6278   RRcr 9521   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   (,)cioo 11582   (,]cioc 11583   [,]cicc 11585   volcvol 22167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator