Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocmbl Structured version   Unicode version

Theorem iocmbl 36010
Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocmbl  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )

Proof of Theorem iocmbl
StepHypRef Expression
1 rexr 9632 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 ioounsn 36007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
31, 2syl3an2 1298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
4 ioombl 22455 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5 iccid 11627 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
61, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
7 iccmbl 22456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,] B
)  e.  dom  vol )
87anidms 649 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  e. 
dom  vol )
96, 8eqeltrrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  { B }  e.  dom  vol )
109adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  { B }  e.  dom  vol )
11 unmbl 22428 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\ 
{ B }  e.  dom  vol )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
124, 10, 11sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
13123adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
143, 13eqeltrrd 2502 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
15143expa 1205 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  ( A (,] B )  e.  dom  vol )
16 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  e. 
RR* )
17 xrlenlt 9645 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
181, 16, 17syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
1918biimp3ar 1365 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  B  <_  A )
20 ioc0 11629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,] B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
2120biimp3ar 1365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
221, 21syl3an2 1298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
23 0mbl 22430 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2519, 24syld3an3 1309 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
26253expa 1205 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2715, 26pm2.61dan 798 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3372   (/)c0 3699   {csn 3936   class class class wbr 4361   dom cdm 4791  (class class class)co 6244   RRcr 9484   RR*cxr 9620    < clt 9621    <_ cle 9622   (,)cioo 11581   (,]cioc 11582   [,]cicc 11584   volcvol 22352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xadd 11356  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-fl 11973  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-clim 13490  df-rlim 13491  df-sum 13691  df-xmet 18901  df-met 18902  df-ovol 22353  df-vol 22355
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator