Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocmbl Structured version   Unicode version

Theorem iocmbl 29723
Description: An open-below, closed-above real interval is measurable. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocmbl  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )

Proof of Theorem iocmbl
StepHypRef Expression
1 rexr 9527 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 ioounsn 29720 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
31, 2syl3an2 1253 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
4 ioombl 21159 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5 iccid 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
61, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
7 iccmbl 21160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,] B
)  e.  dom  vol )
87anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B [,] B )  e. 
dom  vol )
96, 8eqeltrrd 2538 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  { B }  e.  dom  vol )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  { B }  e.  dom  vol )
11 unmbl 21132 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\ 
{ B }  e.  dom  vol )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
124, 10, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
13123adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  e.  dom  vol )
143, 13eqeltrrd 2538 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
15143expa 1188 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  ( A (,] B )  e.  dom  vol )
16 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  e. 
RR* )
17 xrlenlt 9540 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
181, 16, 17syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
1918biimp3ar 1320 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  B  <_  A )
20 ioc0 11445 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,] B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
2120biimp3ar 1320 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
221, 21syl3an2 1253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  =  (/) )
23 0mbl 21134 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2519, 24syld3an3 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
26253expa 1188 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  < 
B )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
2715, 26pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3421   (/)c0 3732   {csn 3972   class class class wbr 4387   dom cdm 4935  (class class class)co 6187   RRcr 9379   RR*cxr 9515    < clt 9516    <_ cle 9517   (,)cioo 11398   (,]cioc 11399   [,]cicc 11401   volcvol 21060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xadd 11188  df-ioo 11402  df-ioc 11403  df-ico 11404  df-icc 11405  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-fl 11740  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-rlim 13066  df-sum 13263  df-xmet 17916  df-met 17917  df-ovol 21061  df-vol 21062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator