Theorem invrcl 17171

Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring.

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.b	|- B = (base` R)
invrcl.z	|- Z = (0g` R)
invrcl.i	|- I = (invr` R)

Assertion

Ref	Expression
invrcl	|- ((R e. DivRingNEW /\ X e. (B \ {Z})) -> (I` X) e. (B \ {Z}))

Proof of Theorem invrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.b	. . . . 5 |- B = (base` R)
2		invrcl.z	. . . . 5 |- Z = (0g` R)
3		eqid 1884	. . . . 5 |- (.r` R) = (.r` R)
4		eqid 1884	. . . . 5 |- {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.} = {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}
5		eqid 1884	. . . . 5 |- (-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}) = (-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})
6		invrcl.i	. . . . 5 |- I = (invr` R)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invrfval 17170	. . . 4 |- (R e. DivRingNEW -> I = (-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}))
8	7	fveq1d 4683	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> (I` X) = ((-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})` X))
9	8	adantr 425	. 2 |- ((R e. DivRingNEW /\ X e. (B \ {Z})) -> (I` X) = ((-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})` X))
10		prex 3526	. . . . . 6 |- {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.} e. _V
11	10	baseval 16769	. . . . 5 |- (base` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}) = ({<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}` 1)
12		1lt2 7212	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
13		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
14		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15	13, 14	ltnei 6758	. . . . . . . 8 |- (1 < 2 -> 2 =/= 1)
16	12, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		necom 2094	. . . . . . 7 |- (2 =/= 1 <-> 1 =/= 2)
18	16, 17	mpbi 206	. . . . . 6 |- 1 =/= 2
19	13	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
20	14	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 2 e. _V
21		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (base` R) e. _V
22	1, 21	eqeltri 1967	. . . . . . . 8 |- B e. _V
23		difexg 3458	. . . . . . . 8 |- (B e. _V -> (B \ {Z}) e. _V)
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B \ {Z}) e. _V
25		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (.r` R) e. _V
26	19, 20, 24, 25	fvpr1 4759	. . . . . 6 |- (1 =/= 2 -> ({<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}` 1) = (B \ {Z}))
27	18, 26	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}` 1) = (B \ {Z})
28	11, 27	eqtr2i 1909	. . . 4 |- (B \ {Z}) = (base` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})
29		eqid 1884	. . . 4 |- (+g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.}) = (+g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})
30	28, 29, 5	grpinvclNEW 17127	. . 3 |- (({<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.} e. GrpNEW /\ X e. (B \ {Z})) -> ((-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})` X) e. (B \ {Z}))
31	1, 3, 2, 4	divrngmgrpNEW 17163	. . 3 |- (R e. DivRingNEW -> {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.} e. GrpNEW)
32	30, 31	sylan 497	. 2 |- ((R e. DivRingNEW /\ X e. (B \ {Z})) -> ((-g` {<.1, (B \ {Z})>., <.2, (.r` R)>.})` X) e. (B \ {Z}))
33	9, 32	eqeltrd 1971	1 |- ((R e. DivRingNEW /\ X e. (B \ {Z})) -> (I` X) e. (B \ {Z}))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  RRcr 6385  1c1 6387   < clt 6653  2c2 7145  basecbs 16758  +_gcplusg 17080  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082  -_gcminusg 17083  ._rcmulr 17085  DivRingNEWcdivring 17158  inv_rcinvr 17168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-2 7154  df-struct 16708  df-base 16768  df-grpNEW 17089  df-0g 17090  df-minusg 17091  df-drngNEW 17159  df-invr 17169

Copyright terms: Public domain