MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invoppggim Structured version   Unicode version

Theorem invoppggim 16962
Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
invoppggim.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
invoppggim.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
invoppggim  |-  ( G  e.  Grp  ->  I  e.  ( G GrpIso  O ) )

Proof of Theorem invoppggim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 invoppggim.o . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32, 1oppgbas 16953 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
4 eqid 2429 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2429 . . 3  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
6 id 23 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
72oppggrp 16959 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  O  e.  Grp )
8 invoppggim.i . . . 4  |-  I  =  ( invg `  G )
91, 8grpinvf 16661 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  I : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
101, 4, 8grpinvadd 16683 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
I `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( I `  y ) ( +g  `  G ) ( I `
 x ) ) )
11103expb 1206 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( I `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( I `  y ) ( +g  `  G
) ( I `  x ) ) )
124, 2, 5oppgplus 16951 . . . 4  |-  ( ( I `  x ) ( +g  `  O
) ( I `  y ) )  =  ( ( I `  y ) ( +g  `  G ) ( I `
 x ) )
1311, 12syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( I `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( I `  x ) ( +g  `  O
) ( I `  y ) ) )
141, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13isghmd 16843 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  I  e.  ( G  GrpHom  O ) )
151, 8, 6grpinvf1o 16675 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  I : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  G )
)
161, 3isgim 16877 . 2  |-  ( I  e.  ( G GrpIso  O
)  <->  ( I  e.  ( G  GrpHom  O )  /\  I : (
Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  G ) ) )
1714, 15, 16sylanbrc 668 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  I  e.  ( G GrpIso  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621    GrpHom cghm 16831   GrpIso cgim 16872  oppgcoppg 16947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-oppg 16948
This theorem is referenced by:  oppggic  16963  symgtrinv  17064  gsumzinv  17513
  Copyright terms: Public domain W3C validator