MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inviso1 Structured version   Unicode version

Theorem inviso1 15381
Description: If  G is an inverse to  F, then  F is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
invfval.n  |-  N  =  (Inv `  C )
invfval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
invfval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
invfval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
isoval.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
inviso1.1  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
Assertion
Ref Expression
inviso1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )

Proof of Theorem inviso1
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 invfval.n . . . . 5  |-  N  =  (Inv `  C )
3 invfval.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 invfval.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 invfval.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5invfun 15379 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( X N Y ) )
7 funrel 5588 . . . 4  |-  ( Fun  ( X N Y )  ->  Rel  ( X N Y ) )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  ( X N Y ) )
9 inviso1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
10 releldm 5058 . . 3  |-  ( ( Rel  ( X N Y )  /\  F
( X N Y ) G )  ->  F  e.  dom  ( X N Y ) )
118, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( X N Y ) )
12 isoval.n . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
131, 2, 3, 4, 5, 12isoval 15380 . 2  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X N Y ) )
1411, 13eleqtrrd 2495 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   Rel wrel 4830   Fun wfun 5565   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   Catccat 15280  Invcinv 15360    Iso ciso 15361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-cat 15284  df-cid 15285  df-sect 15362  df-inv 15363  df-iso 15364
This theorem is referenced by:  inviso2  15382  isoco  15392  idiso  15403  cicref  15416  funciso  15489  ffthiso  15544  fuciso  15590  initoeu1  15616  termoeu1  15623  catciso  15712  yoneda  15878
  Copyright terms: Public domain W3C validator