Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Unicode version

Theorem invginvrid 32025
Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
invginvrid.u  |-  U  =  (Unit `  R )
invginvrid.n  |-  N  =  ( invg `  R )
invginvrid.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
invginvrid.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
invginvrid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  X )

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16992 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
323ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
4 rnggrp 16991 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
5 invginvrid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 invginvrid.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
75, 6unitcl 17092 . . . . 5  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
8 invginvrid.n . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  R )
95, 8grpinvcl 15896 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
104, 7, 9syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
11103adant2 1015 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
126, 8unitnegcl 17114 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  U )
13 invginvrid.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invr `  R
)
146, 13, 5rnginvcl 17109 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  Y )  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
1512, 14syldan 470 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
16153adant2 1015 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
17 simp2 997 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  B )
181, 5mgpbas 16937 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
19 invginvrid.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
201, 19mgpplusg 16935 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
2118, 20mndass 15734 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( ( N `  Y )  e.  B  /\  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 Y )  .x.  ( I `  ( N `  Y )
) )  .x.  X
)  =  ( ( N `  Y ) 
.x.  ( ( I `
 ( N `  Y ) )  .x.  X ) ) )
2221eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( ( N `  Y )  e.  B  /\  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( N `  Y )  .x.  (
( I `  ( N `  Y )
)  .x.  X )
)  =  ( ( ( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  .x.  X ) )
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  ( ( ( N `
 Y )  .x.  ( I `  ( N `  Y )
) )  .x.  X
) )
24 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
25123adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  U )
26 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
276, 13, 19, 26unitrinv 17111 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  Y )  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
2824, 25, 27syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
2928oveq1d 6297 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( N `  Y )  .x.  (
I `  ( N `  Y ) ) ) 
.x.  X )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  X
) )
305, 19, 26rnglidm 17009 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
31303adant3 1016 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
3223, 29, 313eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   Mndcmnd 15722   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724  mulGrpcmgp 16931   1rcur 16943   Ringcrg 16986  Unitcui 17072   invrcinvr 17104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  32153
  Copyright terms: Public domain W3C validator