Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Unicode version

Theorem invginvrid 38471
Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
invginvrid.u  |-  U  =  (Unit `  R )
invginvrid.n  |-  N  =  ( invg `  R )
invginvrid.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
invginvrid.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
invginvrid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  X )

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17524 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
323ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
4 ringgrp 17523 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
5 invginvrid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 invginvrid.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
75, 6unitcl 17628 . . . . 5  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
8 invginvrid.n . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  R )
95, 8grpinvcl 16419 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
104, 7, 9syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
11103adant2 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
126, 8unitnegcl 17650 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  U )
13 invginvrid.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invr `  R
)
146, 13, 5ringinvcl 17645 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  Y )  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
1512, 14syldan 468 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
16153adant2 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B )
17 simp2 998 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  B )
181, 5mgpbas 17467 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
19 invginvrid.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
201, 19mgpplusg 17465 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
2118, 20mndass 16254 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( ( N `  Y )  e.  B  /\  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 Y )  .x.  ( I `  ( N `  Y )
) )  .x.  X
)  =  ( ( N `  Y ) 
.x.  ( ( I `
 ( N `  Y ) )  .x.  X ) ) )
2221eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( ( N `  Y )  e.  B  /\  (
I `  ( N `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( N `  Y )  .x.  (
( I `  ( N `  Y )
)  .x.  X )
)  =  ( ( ( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  .x.  X ) )
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  ( ( ( N `
 Y )  .x.  ( I `  ( N `  Y )
) )  .x.  X
) )
24 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
25123adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( N `  Y )  e.  U )
26 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
276, 13, 19, 26unitrinv 17647 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  Y )  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
2824, 25, 27syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( I `  ( N `  Y
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
2928oveq1d 6293 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( N `  Y )  .x.  (
I `  ( N `  Y ) ) ) 
.x.  X )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  X
) )
305, 19, 26ringlidm 17542 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
31303adant3 1017 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
3223, 29, 313eqtrd 2447 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( N `  Y
)  .x.  ( (
I `  ( N `  Y ) )  .x.  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   Mndcmnd 16243   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378  mulGrpcmgp 17461   1rcur 17473   Ringcrg 17518  Unitcui 17608   invrcinvr 17640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  38591
  Copyright terms: Public domain W3C validator