Theorem invfval 9593

Description: Function for the negative of a vector on a normed complex vector space, in terms of the underlying addition group inverse. (We currently do not have a separate notation for the negative of a vector.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.2	|- G = (+v` U)
invfval.4	|- S = (.s` U)
invfval.3	|- N = (S o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))

Assertion

Ref	Expression
invfval	|- (U e. NrmCVec -> N = (inv` G))

Proof of Theorem invfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
2	1	negcli 6526	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
3		invfval.3	. . . . . . 7 |- N = (S o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))
4	3	curry1val 5077	. . . . . 6 |- ((S Fn (CC X. (BaseSet` U)) /\ -u1 e. CC /\ x e. (BaseSet` U)) -> (N` x) = (-u1Sx))
5	2, 4	mp3an2 1179	. . . . 5 |- ((S Fn (CC X. (BaseSet` U)) /\ x e. (BaseSet` U)) -> (N` x) = (-u1Sx))
6		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
7		invfval.4	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
8	6, 7	nvsf 9570	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> S:(CC X. (BaseSet` U))-->(BaseSet` U))
9		ffn 4562	. . . . . 6 |- (S:(CC X. (BaseSet` U))-->(BaseSet` U) -> S Fn (CC X. (BaseSet` U)))
10	8, 9	syl 12	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> S Fn (CC X. (BaseSet` U)))
11	5, 10	sylan 497	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. (BaseSet` U)) -> (N` x) = (-u1Sx))
12		invfval.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
13		eqid 1884	. . . . 5 |- (inv` G) = (inv` G)
14	6, 12, 7, 13	nvinv 9592	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. (BaseSet` U)) -> (-u1Sx) = ((inv` G)` x))
15	11, 14	eqtrd 1925	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. (BaseSet` U)) -> (N` x) = ((inv` G)` x))
16	15	r19.21aiva 2176	. 2 |- (U e. NrmCVec -> A.x e. (BaseSet` U)(N` x) = ((inv` G)` x))
17	3	curry1f 5076	. . . . 5 |- ((S:(CC X. (BaseSet` U))-->(BaseSet` U) /\ -u1 e. CC) -> N:(BaseSet` U)-->(BaseSet` U))
18	17, 8, 2	sylancl 525	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> N:(BaseSet` U)-->(BaseSet` U))
19		ffn 4562	. . . 4 |- (N:(BaseSet` U)-->(BaseSet` U) -> N Fn (BaseSet` U))
20	18, 19	syl 12	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> N Fn (BaseSet` U))
21	12	nvgrp 9568	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
22	6, 12	bafval 9555	. . . . . 6 |- (BaseSet` U) = ran G
23	22, 13	grpinvf 9364	. . . . 5 |- (G e. Grp -> (inv` G):(BaseSet` U)-1-1-onto->(BaseSet` U))
24	21, 23	syl 12	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> (inv` G):(BaseSet` U)-1-1-onto->(BaseSet` U))
25		f1ofn 4636	. . . 4 |- ((inv` G):(BaseSet` U)-1-1-onto->(BaseSet` U) -> (inv` G) Fn (BaseSet` U))
26	24, 25	syl 12	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (inv` G) Fn (BaseSet` U))
27		eqfnfv2 4767	. . 3 |- ((N Fn (BaseSet` U) /\ (inv` G) Fn (BaseSet` U)) -> (N = (inv` G) <-> A.x e. (BaseSet` U)(N` x) = ((inv` G)` x)))
28	20, 26, 27	syl11anc 524	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N = (inv` G) <-> A.x e. (BaseSet` U)(N` x) = ((inv` G)` x)))
29	16, 28	mpbird 213	1 |- (U e. NrmCVec -> N = (inv` G))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  {csn 3044   X. cxp 3984  `'ccnv 3985   |` cres 3988   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  Grpcgr 9311  invcgn 9313  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538

This theorem is referenced by:  hhssabli 10765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain