Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invfun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem invfun 15681
 Description: The inverse relation is a function, which is to say that every morphism has at most one inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
Assertion
Ref Expression
invfun

Proof of Theorem invfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . 4
2 invfval.n . . . 4 Inv
3 invfval.c . . . 4
4 invfval.x . . . 4
5 invfval.y . . . 4
6 eqid 2453 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6invss 15678 . . 3
8 relxp 4945 . . 3
9 relss 4925 . . 3
107, 8, 9mpisyl 21 . 2
11 eqid 2453 . . . . . 6 Sect Sect
123adantr 467 . . . . . 6
135adantr 467 . . . . . 6
144adantr 467 . . . . . 6
151, 2, 3, 4, 5, 11isinv 15677 . . . . . . . 8 Sect Sect
1615simplbda 630 . . . . . . 7 Sect
1716adantrr 724 . . . . . 6 Sect
181, 2, 3, 4, 5, 11isinv 15677 . . . . . . . 8 Sect Sect
1918simprbda 629 . . . . . . 7 Sect
2019adantrl 723 . . . . . 6 Sect
211, 11, 12, 13, 14, 17, 20sectcan 15672 . . . . 5
2221ex 436 . . . 4
2322alrimiv 1775 . . 3
2423alrimivv 1776 . 2
25 dffun2 5595 . 2
2610, 24, 25sylanbrc 671 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371  wal 1444   wceq 1446   wcel 1889   wss 3406   class class class wbr 4405   cxp 4835   wrel 4842   wfun 5579  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133   chom 15213  ccat 15582  Sectcsect 15661  Invcinv 15662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-cat 15586  df-cid 15587  df-sect 15664  df-inv 15665 This theorem is referenced by:  inviso1  15683  invf  15685  invco  15688  idinv  15706  funciso  15791  ffthiso  15846  fuciso  15892  setciso  15998  catciso  16014  rngciso  40088  rngcisoALTV  40100  ringciso  40139  ringcisoALTV  40163
 Copyright terms: Public domain W3C validator