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Theorem inuni 4556
Description: The intersection of a union  U. A with a class  B is equal to the union of the intersections of each element of  A with  B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
inuni  |-  ( U. A  i^i  B )  = 
U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem inuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4195 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  z  e.  y )
21anbi1i 693 . . . 4  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  z  e.  B
)  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B
) )
3 elin 3626 . . . 4  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  ( z  e.  U. A  /\  z  e.  B ) )
4 ancom 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) )  <->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B )  /\  z  e.  x ) )
5 r19.41v 2959 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x )  <->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) )  <->  E. y  e.  A  ( x  =  ( y  i^i 
B )  /\  z  e.  x ) )
76exbii 1688 . . . . . 6  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  =  (
y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
8 rexcom4 3079 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  =  (
y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
97, 8bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  E. y  e.  A  E. x
( x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
10 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1110inex1 4535 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  B )  e. 
_V
12 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i 
B )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( y  i^i  B
) ) )
1311, 12ceqsexv 3096 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  z  e.  ( y  i^i  B
) )
14 elin 3626 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
B )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
1615rexbii 2906 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
17 r19.41v 2959 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  z  e.  B )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B )
)
1816, 17bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
199, 18bitri 249 . . . 4  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
202, 3, 193bitr4i 277 . . 3  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) ) )
21 eluniab 4202 . . 3  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }  <->  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) ) )
2220, 21bitr4i 252 . 2  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  z  e.  U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) } )
2322eqriv 2398 1  |-  ( U. A  i^i  B )  = 
U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2755    i^i cin 3413   U.cuni 4191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2759  df-rex 2760  df-v 3061  df-in 3421  df-uni 4192
This theorem is referenced by: (None)
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