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Theorem intun 4165
Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
intun  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )

Proof of Theorem intun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1647 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
2 elun 3502 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y ) )
4 jaob 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( (
y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
53, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
65albii 1610 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  A. y
( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
7 vex 2980 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87elint 4139 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y ) )
97elint 4139 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  e.  y ) )
108, 9anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
111, 6, 103bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
127elint 4139 . . 3  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  A. y
( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y ) )
13 elin 3544 . . 3  |-  ( x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
1411, 12, 133bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B ) )
1514eqriv 2440 1  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3331    i^i cin 3332   |^|cint 4133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-v 2979  df-un 3338  df-in 3340  df-int 4134
This theorem is referenced by:  intunsn  4172  riinint  5101  fiin  7677  elfiun  7685  elrfi  29035
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