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Theorem intsal 38301
Description: The arbitrary intersection of sigma-algebra (on the same set  X) is a sigma-algebra ( on the same set  X, see intsaluni 38300). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
intsal.ga  |-  ( ph  ->  G  C_ SAlg )
intsal.gn0  |-  ( ph  ->  G  =/=  (/) )
intsal.x  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  U. s  =  X )
Assertion
Ref Expression
intsal  |-  ( ph  ->  |^| G  e. SAlg )
Distinct variable groups:    G, s    X, s    ph, s

Proof of Theorem intsal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  ph )
2 intsal.ga . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  C_ SAlg )
32sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  s  e. SAlg )
4 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e. SAlg )  ->  s  e. SAlg )
5 0sal 38293 . . . . . . 7  |-  ( s  e. SAlg  ->  (/)  e.  s )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e. SAlg )  ->  (/)  e.  s )
71, 3, 6syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  (/)  e.  s )
87ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  G  (/) 
e.  s )
9 0ex 4528 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
109elint2 4233 . . . 4  |-  ( (/)  e.  |^| G  <->  A. s  e.  G  (/)  e.  s )
118, 10sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  |^| G )
12 intsal.x . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  U. s  =  X )
13 intsal.gn0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  (/) )
142, 13, 12intsaluni 38300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. |^| G  =  X )
1514eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. |^| G )
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  X  =  U. |^| G )
1712, 16eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  U. |^| G  =  U. s
)
1817difeq1d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  G )  ->  ( U. |^| G  \  y
)  =  ( U. s  \  y ) )
1918adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  |^| G )  /\  s  e.  G )  ->  ( U. |^| G  \  y )  =  ( U. s  \  y
) )
203adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  |^| G )  /\  s  e.  G )  ->  s  e. SAlg )
21 elinti 4235 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  |^| G  ->  (
s  e.  G  -> 
y  e.  s ) )
2221imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  |^| G  /\  s  e.  G
)  ->  y  e.  s )
2322adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  |^| G )  /\  s  e.  G )  ->  y  e.  s )
24 saldifcl 38292 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e. SAlg  /\  y  e.  s )  ->  ( U. s  \  y
)  e.  s )
2520, 23, 24syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  |^| G )  /\  s  e.  G )  ->  ( U. s  \ 
y )  e.  s )
2619, 25eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  |^| G )  /\  s  e.  G )  ->  ( U. |^| G  \  y )  e.  s )
2726ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^| G )  ->  A. s  e.  G  ( U. |^| G  \  y )  e.  s )
28 intex 4557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =/=  (/)  <->  |^| G  e.  _V )
2928biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =/=  (/)  ->  |^| G  e. 
_V )
3013, 29syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  |^| G  e.  _V )
31 uniexg 6607 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| G  e.  _V  ->  U.
|^| G  e.  _V )
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. |^| G  e. 
_V )
33 difexg 4545 . . . . . . . 8  |-  ( U. |^| G  e.  _V  ->  ( U. |^| G  \ 
y )  e.  _V )
3432, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. |^| G  \  y )  e.  _V )
3534adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^| G )  ->  ( U. |^| G  \  y
)  e.  _V )
36 elintg 4234 . . . . . 6  |-  ( ( U. |^| G  \ 
y )  e.  _V  ->  ( ( U. |^| G  \  y )  e. 
|^| G  <->  A. s  e.  G  ( U. |^| G  \  y )  e.  s ) )
3735, 36syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^| G )  ->  (
( U. |^| G  \  y )  e.  |^| G 
<-> 
A. s  e.  G  ( U. |^| G  \ 
y )  e.  s ) )
3827, 37mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^| G )  ->  ( U. |^| G  \  y
)  e.  |^| G
)
3938ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  |^| G ( U. |^| G  \  y )  e. 
|^| G )
403adant423 37430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G
)  /\  y  ~<_  om )  /\  s  e.  G
)  ->  s  e. SAlg )
41 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P |^| G  ->  y  C_  |^| G )
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ~P |^| G  /\  s  e.  G
)  ->  y  C_  |^| G )
43 intss1 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  G  ->  |^| G  C_  s )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ~P |^| G  /\  s  e.  G
)  ->  |^| G  C_  s )
4542, 44sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~P |^| G  /\  s  e.  G
)  ->  y  C_  s )
46 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
4746elpw 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P s  <->  y  C_  s )
4845, 47sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P |^| G  /\  s  e.  G
)  ->  y  e.  ~P s )
4948adantll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  /\  s  e.  G
)  ->  y  e.  ~P s )
5049adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G
)  /\  y  ~<_  om )  /\  s  e.  G
)  ->  y  e.  ~P s )
51 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G
)  /\  y  ~<_  om )  /\  s  e.  G
)  ->  y  ~<_  om )
5240, 50, 51salunicl 38289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G
)  /\  y  ~<_  om )  /\  s  e.  G
)  ->  U. y  e.  s )
5352ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  /\  y  ~<_  om )  ->  A. s  e.  G  U. y  e.  s
)
5446uniex 6606 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  _V )
56 elintg 4234 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  _V  ->  ( U. y  e.  |^| G 
<-> 
A. s  e.  G  U. y  e.  s
) )
5755, 56syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  /\  y  ~<_  om )  ->  ( U. y  e. 
|^| G  <->  A. s  e.  G  U. y  e.  s ) )
5853, 57mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  |^| G )
5958ex 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P |^| G )  -> 
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  |^| G
) )
6059ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ~P  |^| G ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  |^| G ) )
6111, 39, 603jca 1210 . 2  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  |^| G  /\  A. y  e.  |^| G ( U. |^| G  \  y )  e. 
|^| G  /\  A. y  e.  ~P  |^| G
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  |^| G
) ) )
62 issal 38287 . . 3  |-  ( |^| G  e.  _V  ->  (
|^| G  e. SAlg  <->  ( (/)  e.  |^| G  /\  A. y  e. 
|^| G ( U. |^| G  \  y )  e.  |^| G  /\  A. y  e.  ~P  |^| G
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  |^| G
) ) ) )
6330, 62syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( |^| G  e. SAlg  <->  (
(/)  e.  |^| G  /\  A. y  e.  |^| G
( U. |^| G  \  y )  e.  |^| G  /\  A. y  e. 
~P  |^| G ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  |^| G ) ) ) )
6461, 63mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  |^| G  e. SAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   omcom 6711    ~<_ cdom 7585  SAlgcsalg 38281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-salg 38282
This theorem is referenced by:  salgencl  38303
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