Theorem intopcon 14964

Description: The indiscrete topology is connected.

Hypothesis

Ref	Expression
intopcon.1	|- A e. B

Assertion

Ref	Expression
intopcon	|- {(/), A} e. Con

Proof of Theorem intopcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscon2 10340	. 2 |- ({(/), A} e. Con <-> ({(/), A} e. Top /\ ({(/), A} i^i (Clsd` {(/), A})) = {(/), U.{(/), A}}))
2		indistop 8918	. 2 |- {(/), A} e. Top
3		intopcon.1	. . . . 5 |- A e. B
4	3	clindistop 14962	. . . 4 |- (Clsd` {(/), A}) = {(/), A}
5	4	ineq2i 2793	. . 3 |- ({(/), A} i^i (Clsd` {(/), A})) = ({(/), A} i^i {(/), A})
6		inidm 2803	. . 3 |- ({(/), A} i^i {(/), A}) = {(/), A}
7		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
8	3	elisseti 2301	. . . . . 6 |- A e. _V
9	7, 8	unipr 3191	. . . . 5 |- U.{(/), A} = ((/) u. A)
10		uncom 2744	. . . . 5 |- (A u. (/)) = ((/) u. A)
11		un0 2896	. . . . 5 |- (A u. (/)) = A
12	9, 10, 11	3eqtr2ri 1916	. . . 4 |- A = U.{(/), A}
13		preq2 3099	. . . 4 |- (A = U.{(/), A} -> {(/), A} = {(/), U.{(/), A}})
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- {(/), A} = {(/), U.{(/), A}}
15	5, 6, 14	3eqtri 1912	. 2 |- ({(/), A} i^i (Clsd` {(/), A})) = {(/), U.{(/), A}}
16	1, 2, 15	mpbir2an 800	1 |- {(/), A} e. Con

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {cpr 3045  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Conccon 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-con 10338

Copyright terms: Public domain