MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intirr Structured version   Unicode version

Theorem intirr 5391
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3696 . . . 4  |-  ( R  i^i  _I  )  =  (  _I  i^i  R
)
21eqeq1i 2474 . . 3  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  (  _I  i^i  R )  =  (/) )
3 disj2 3879 . . 3  |-  ( (  _I  i^i  R )  =  (/)  <->  _I  C_  ( _V 
\  R ) )
4 reli 5136 . . . 4  |-  Rel  _I
5 ssrel 5097 . . . 4  |-  ( Rel 
_I  ->  (  _I  C_  ( _V  \  R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  C_  ( _V  \  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
72, 3, 63bitri 271 . 2  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
8 equcom 1743 . . . . 5  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
9 vex 3121 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
109ideq 5161 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
11 df-br 4454 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
128, 10, 113bitr2i 273 . . . 4  |-  ( y  =  x  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
13 opex 4717 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
15 eldif 3491 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
1614, 15bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( _V  \  R ) )
17 df-br 4454 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1816, 17xchnxbir 309 . . . 4  |-  ( -.  x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) )
1912, 18imbi12i 326 . . 3  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
20192albii 1621 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  _I  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
) ) )
21 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ y  -.  x R x
22 breq2 4457 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
2322notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R x ) )
2421, 23equsal 2009 . . 3  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  -.  x R x )
2524albii 1620 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x  -.  x R x )
267, 20, 253bitr2i 273 1  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   <.cop 4039   class class class wbr 4453    _I cid 4796   Rel wrel 5010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7979  hausdiag  20014
  Copyright terms: Public domain W3C validator