Theorem intirr 4312

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ((R i^i _I ) = (/) <-> A.x -. xRx)

Distinct variable group:   x,R

Proof of Theorem intirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 2787	. . . 4 |- (R i^i _I ) = ( _I i^i R)
2	1	eqeq1i 1891	. . 3 |- ((R i^i _I ) = (/) <-> ( _I i^i R) = (/))
3		disj2 2921	. . 3 |- (( _I i^i R) = (/) <-> _I C_ (_V \ R))
4		reli 4105	. . . 4 |- Rel _I
5		ssrel 4075	. . . 4 |- (Rel _I -> ( _I C_ (_V \ R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. _I -> <.x, y>. e. (_V \ R))))
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- ( _I C_ (_V \ R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. _I -> <.x, y>. e. (_V \ R)))
7	2, 3, 6	3bitri 194	. 2 |- ((R i^i _I ) = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. _I -> <.x, y>. e. (_V \ R)))
8		equcom 1488	. . . . 5 |- (y = x <-> x = y)
9		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
10	9	ideq 4116	. . . . 5 |- (x _I y <-> x = y)
11		df-br 3339	. . . . 5 |- (x _I y <-> <.x, y>. e. _I )
12	8, 10, 11	3bitr2i 196	. . . 4 |- (y = x <-> <.x, y>. e. _I )
13		opex 3527	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
14	13	biantrur 794	. . . . 5 |- (-. <.x, y>. e. R <-> (<.x, y>. e. _V /\ -. <.x, y>. e. R))
15		df-br 3339	. . . . . 6 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
16	15	notbii 204	. . . . 5 |- (-. xRy <-> -. <.x, y>. e. R)
17		eldif 2609	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (_V \ R) <-> (<.x, y>. e. _V /\ -. <.x, y>. e. R))
18	14, 16, 17	3bitr4i 200	. . . 4 |- (-. xRy <-> <.x, y>. e. (_V \ R))
19	12, 18	imbi12i 205	. . 3 |- ((y = x -> -. xRy) <-> (<.x, y>. e. _I -> <.x, y>. e. (_V \ R)))
20	19	2albii 1347	. 2 |- (A.xA.y(y = x -> -. xRy) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. _I -> <.x, y>. e. (_V \ R)))
21		ax-17 1317	. . . 4 |- (-. xRx -> A.y -. xRx)
22		breq2 3342	. . . . 5 |- (y = x -> (xRy <-> xRx))
23	22	notbid 673	. . . 4 |- (y = x -> (-. xRy <-> -. xRx))
24	21, 23	equsal 1511	. . 3 |- (A.y(y = x -> -. xRy) <-> -. xRx)
25	24	albii 1346	. 2 |- (A.xA.y(y = x -> -. xRy) <-> A.x -. xRx)
26	7, 20, 25	3bitr2i 196	1 |- ((R i^i _I ) = (/) <-> A.x -. xRx)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  <.cop 3046   class class class wbr 3338   _I cid 3582  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain