MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intirr Structured version   Unicode version

Theorem intirr 5395
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3687 . . . 4  |-  ( R  i^i  _I  )  =  (  _I  i^i  R
)
21eqeq1i 2464 . . 3  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  (  _I  i^i  R )  =  (/) )
3 disj2 3877 . . 3  |-  ( (  _I  i^i  R )  =  (/)  <->  _I  C_  ( _V 
\  R ) )
4 reli 5140 . . . 4  |-  Rel  _I
5 ssrel 5100 . . . 4  |-  ( Rel 
_I  ->  (  _I  C_  ( _V  \  R )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  C_  ( _V  \  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
72, 3, 63bitri 271 . 2  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
8 equcom 1795 . . . . 5  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
9 vex 3112 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
109ideq 5165 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
11 df-br 4457 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
128, 10, 113bitr2i 273 . . . 4  |-  ( y  =  x  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
13 opex 4720 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
15 eldif 3481 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
1614, 15bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( _V  \  R ) )
17 df-br 4457 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1816, 17xchnxbir 309 . . . 4  |-  ( -.  x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) )
1912, 18imbi12i 326 . . 3  |-  ( ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  _I  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R ) ) )
20192albii 1642 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  _I  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  R
) ) )
21 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ y  -.  x R x
22 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
2322notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R x ) )
2421, 23equsal 2037 . . 3  |-  ( A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  -.  x R x )
2524albii 1641 . 2  |-  ( A. x A. y ( y  =  x  ->  -.  x R y )  <->  A. x  -.  x R x )
267, 20, 253bitr2i 273 1  |-  ( ( R  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. x  -.  x R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   <.cop 4038   class class class wbr 4456    _I cid 4799   Rel wrel 5013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7985  hausdiag  20272
  Copyright terms: Public domain W3C validator