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Theorem intgru 9140
Description: The intersection of a family of universes is a universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
intgru  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )

Proof of Theorem intgru
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2 intex 4547 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 dfss3 3429 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Univ  <->  A. u  e.  A  u  e.  Univ )
5 grutr 9119 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  Tr  u
)
65ralimi 2794 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
74, 6sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
C_  Univ  ->  A. u  e.  A  Tr  u
)
8 trint 4501 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Tr  u  ->  Tr  |^| A )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  Univ  ->  Tr  |^| A
)
109adantr 463 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  Tr  |^| A )
11 grupw 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ~P x  e.  u )
1211ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( x  e.  u  ->  ~P x  e.  u )
)
1312ral2imi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( A. u  e.  A  x  e.  u  ->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u ) )
14 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1514elint2 4231 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  x  e.  u )
1614pwex 4574 . . . . . . . . 9  |-  ~P x  e.  _V
1716elint2 4231 . . . . . . . 8  |-  ( ~P x  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  ~P x  e.  u )
1813, 15, 173imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  ->  ( x  e.  |^| A  ->  ~P x  e.  |^| A ) )
1918imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e.  |^| A
)
2019adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ~P x  e. 
|^| A )
21 r19.26 2931 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  <->  ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u ) )
22 grupr 9123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y  e.  u )  ->  { x ,  y }  e.  u )
23223expia 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y  e.  u  ->  { x ,  y }  e.  u ) )
2423ral2imi 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
2521, 24sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y  e.  u  ->  A. u  e.  A  {
x ,  y }  e.  u ) )
26 vex 3059 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2726elint2 4231 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  y  e.  u )
28 prex 4630 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
2928elint2 4231 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  { x ,  y }  e.  u )
3025, 27, 293imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  (
y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A
) )
3115, 30sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y  e.  |^| A  ->  { x ,  y }  e.  |^| A ) )
3231ralrimiv 2813 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
3332adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A
)
34 elmapg 7388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
|^| A  ^m  x
)  <->  y : x -->
|^| A ) )
3514, 34mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
362, 35sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
3736ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  <->  y :
x --> |^| A ) )
38 intss1 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  |^| A  C_  u )
39 fss 5676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  |^| A  C_  u
)  ->  y :
x --> u )
4038, 39sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y : x --> |^| A  /\  u  e.  A
)  ->  y :
x --> u )
4140ralrimiva 2815 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : x --> |^| A  ->  A. u  e.  A  y : x --> u )
42 gruurn 9124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u  /\  y : x --> u )  ->  U. ran  y  e.  u )
43423expia 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  (
y : x --> u  ->  U. ran  y  e.  u
) )
4443ral2imi 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  A  (
u  e.  Univ  /\  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4521, 44sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A. u  e.  A  x  e.  u )  ->  ( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
) )
4615, 45sylan2b 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( A. u  e.  A  y : x --> u  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4741, 46syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u ) )
4826rnex 6670 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  y  e.  _V
4948uniex 6532 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  y  e.  _V
5049elint2 4231 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  y  e.  |^| A  <->  A. u  e.  A  U. ran  y  e.  u
)
5147, 50syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  x  e.  |^| A )  -> 
( y : x -->
|^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5251adantlr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y : x --> |^| A  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5337, 52sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( y  e.  ( |^| A  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  |^| A ) )
5453ralrimiv 2813 . . . . 5  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A )
5520, 33, 543jca 1175 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) )
5655ralrimiva 2815 . . 3  |-  ( ( A. u  e.  A  u  e.  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
574, 56sylanb 470 . 2  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  (
|^| A  ^m  x
) U. ran  y  e.  |^| A ) )
58 elgrug 9118 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  Univ  <->  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e. 
|^| A { x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A ) ) ) )
5958biimpar 483 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( Tr  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( ~P x  e.  |^| A  /\  A. y  e.  |^| A {
x ,  y }  e.  |^| A  /\  A. y  e.  ( |^| A  ^m  x ) U. ran  y  e.  |^| A
) ) )  ->  |^| A  e.  Univ )
603, 10, 57, 59syl12anc 1226 1  |-  ( ( A  C_  Univ  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  Univ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   (/)c0 3735   ~Pcpw 3952   {cpr 3971   U.cuni 4188   |^|cint 4224   Tr wtr 4486   ran crn 4941   -->wf 5519  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   Univcgru 9116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-br 4393  df-opab 4451  df-tr 4487  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-map 7377  df-gru 9117
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