Theorem intfracq 7496

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 7495.

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = (|_` (M / N))
intfracq.2	|- F = ((M / N) - Z)

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (0 <_ F /\ F <_ ((N - 1) / N) /\ (M / N) = (Z + F)))

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 7348	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2	1	adantr 425	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> M e. RR)
3		nnre 7112	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. RR)
4	3	adantl 424	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> N e. RR)
5		nnne0 7132	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N =/= 0)
6	5	adantl 424	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> N =/= 0)
7		redivcl 6978	. . . . 5 |- ((M e. RR /\ N e. RR /\ N =/= 0) -> (M / N) e. RR)
8	2, 4, 6, 7	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (M / N) e. RR)
9		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = (|_` (M / N))
10		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ((M / N) - Z)
11	9, 10	intfrac2 7495	. . . 4 |- ((M / N) e. RR -> (0 <_ F /\ F < 1 /\ (M / N) = (Z + F)))
12	8, 11	syl 12	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (0 <_ F /\ F < 1 /\ (M / N) = (Z + F)))
13	12	simp1d 888	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> 0 <_ F)
14		fraclt1 7470	. . . . . . 7 |- ((M / N) e. RR -> ((M / N) - (|_` (M / N))) < 1)
15	8, 14	syl 12	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((M / N) - (|_` (M / N))) < 1)
16	9	opreq2i 4893	. . . . . . . 8 |- ((M / N) - Z) = ((M / N) - (|_` (M / N)))
17	10, 16	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- F = ((M / N) - (|_` (M / N)))
18	17	a1i 8	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> F = ((M / N) - (|_` (M / N))))
19		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N e. CC)
20		divid 6942	. . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ N =/= 0) -> (N / N) = 1)
21	19, 5, 20	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N / N) = 1)
22	21	adantl 424	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N / N) = 1)
23	15, 18, 22	3brtr4d 3367	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> F < (N / N))
24		reflcl 7466	. . . . . . . . . 10 |- ((M / N) e. RR -> (|_` (M / N)) e. RR)
25	8, 24	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (|_` (M / N)) e. RR)
26	25, 9	syl5eqel 1975	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> Z e. RR)
27		resubcl 6601	. . . . . . . 8 |- (((M / N) e. RR /\ Z e. RR) -> ((M / N) - Z) e. RR)
28	8, 26, 27	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((M / N) - Z) e. RR)
29	28, 10	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> F e. RR)
30		nngt0 7129	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> 0 < N)
31	3, 30	jca 310	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ 0 < N))
32	31	adantl 424	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N e. RR /\ 0 < N))
33		ltmuldiv2 7047	. . . . . 6 |- ((F e. RR /\ N e. RR /\ (N e. RR /\ 0 < N)) -> ((N x. F) < N <-> F < (N / N)))
34	29, 4, 32, 33	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((N x. F) < N <-> F < (N / N)))
35	23, 34	mpbird 213	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. F) < N)
36	19	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> N e. CC)
37	8	recnd 6468	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (M / N) e. CC)
38	9	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> Z = (|_` (M / N)))
39		flcl 7465	. . . . . . . . . . 11 |- ((M / N) e. RR -> (|_` (M / N)) e. ZZ)
40	8, 39	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (|_` (M / N)) e. ZZ)
41	38, 40	eqeltrd 1971	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> Z e. ZZ)
42		zcn 7349	. . . . . . . . 9 |- (Z e. ZZ -> Z e. CC)
43	41, 42	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> Z e. CC)
44		subdi 6590	. . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ (M / N) e. CC /\ Z e. CC) -> (N x. ((M / N) - Z)) = ((N x. (M / N)) - (N x. Z)))
45	36, 37, 43, 44	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. ((M / N) - Z)) = ((N x. (M / N)) - (N x. Z)))
46	10	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- (N x. F) = (N x. ((M / N) - Z))
47	45, 46	syl5eq 1940	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. F) = ((N x. (M / N)) - (N x. Z)))
48		zcn 7349	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
49	48	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> M e. CC)
50		divcan2 6910	. . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ N =/= 0) -> (N x. (M / N)) = M)
51	49, 36, 6, 50	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. (M / N)) = M)
52		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> M e. ZZ)
53	51, 52	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. (M / N)) e. ZZ)
54		nnz 7362	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
55	54	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> N e. ZZ)
56		zmulcl 7389	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ Z e. ZZ) -> (N x. Z) e. ZZ)
57	55, 41, 56	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. Z) e. ZZ)
58		zsubcl 7377	. . . . . . 7 |- (((N x. (M / N)) e. ZZ /\ (N x. Z) e. ZZ) -> ((N x. (M / N)) - (N x. Z)) e. ZZ)
59	53, 57, 58	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((N x. (M / N)) - (N x. Z)) e. ZZ)
60	47, 59	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. F) e. ZZ)
61		zltlem1 7393	. . . . 5 |- (((N x. F) e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((N x. F) < N <-> (N x. F) <_ (N - 1)))
62	60, 55, 61	syl11anc 524	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((N x. F) < N <-> (N x. F) <_ (N - 1)))
63	35, 62	mpbid 212	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N x. F) <_ (N - 1))
64		peano2rem 6605	. . . . . 6 |- (N e. RR -> (N - 1) e. RR)
65	3, 64	syl 12	. . . . 5 |- (N e. NN -> (N - 1) e. RR)
66	65	adantl 424	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (N - 1) e. RR)
67		lemuldiv2 7059	. . . 4 |- ((F e. RR /\ (N - 1) e. RR /\ (N e. RR /\ 0 < N)) -> ((N x. F) <_ (N - 1) <-> F <_ ((N - 1) / N)))
68	29, 66, 32, 67	syl111anc 1100	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> ((N x. F) <_ (N - 1) <-> F <_ ((N - 1) / N)))
69	63, 68	mpbid 212	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> F <_ ((N - 1) / N))
70	12	simp3d 890	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (M / N) = (Z + F))
71	13, 69, 70	3jca 1050	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. NN) -> (0 <_ F /\ F <_ ((N - 1) / N) /\ (M / N) = (Z + F)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  |_cfl 7462

This theorem is referenced by:  fldiv 7497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463

Copyright terms: Public domain