MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intfrac2 Structured version   Unicode version

Theorem intfrac2 11817
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 11843? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfrac2.1  |-  Z  =  ( |_ `  A
)
intfrac2.2  |-  F  =  ( A  -  Z
)
Assertion
Ref Expression
intfrac2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  F  /\  F  <  1  /\  A  =  ( Z  +  F ) ) )

Proof of Theorem intfrac2
StepHypRef Expression
1 fracge0 11774 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
2 intfrac2.2 . . . 4  |-  F  =  ( A  -  Z
)
3 intfrac2.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( |_ `  A
)
43oveq2i 6214 . . . 4  |-  ( A  -  Z )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
52, 4eqtri 2483 . . 3  |-  F  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
61, 5syl6breqr 4443 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  F )
7 fraclt1 11772 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
85, 7syl5eqbr 4436 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  F  <  1 )
92oveq2i 6214 . . 3  |-  ( Z  +  F )  =  ( Z  +  ( A  -  Z ) )
10 flcl 11765 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
113, 10syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  Z  e.  ZZ )
1211zcnd 10862 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  Z  e.  CC )
13 recn 9486 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1412, 13pncan3d 9836 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( Z  +  ( A  -  Z ) )  =  A )
159, 14syl5req 2508 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( Z  +  F ) )
166, 8, 153jca 1168 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  F  /\  F  <  1  /\  A  =  ( Z  +  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   ZZcz 10760   |_cfl 11760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fl 11762
This theorem is referenced by:  intfracq  11818  fldiv  11819
  Copyright terms: Public domain W3C validator