Theorem intasymOLD 4307

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
intasymOLD	|- ((R i^i `'R) C_ _I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem intasymOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2813	. . . 4 |- (R i^i `'R) C_ `'R
2		relcnv 4301	. . . 4 |- Rel `'R
3		relss 4074	. . . 4 |- ((R i^i `'R) C_ `'R -> (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R)))
4	1, 2, 3	mp2 54	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
5		ssrel 4075	. . 3 |- (Rel (R i^i `'R) -> ((R i^i `'R) C_ _I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. _I )))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- ((R i^i `'R) C_ _I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. _I ))
7		df-br 3339	. . . . . 6 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
8		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
9		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10	8, 9	brcnv 4144	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> yRx)
11		df-br 3339	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
12	10, 11	bitr3i 192	. . . . . 6 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
13	7, 12	anbi12i 540	. . . . 5 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
14		elin 2786	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
15	13, 14	bitr4i 193	. . . 4 |- ((xRy /\ yRx) <-> <.x, y>. e. (R i^i `'R))
16	9	ideq 4116	. . . . 5 |- (x _I y <-> x = y)
17		df-br 3339	. . . . 5 |- (x _I y <-> <.x, y>. e. _I )
18	16, 17	bitr3i 192	. . . 4 |- (x = y <-> <.x, y>. e. _I )
19	15, 18	imbi12i 205	. . 3 |- (((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> (<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. _I ))
20	19	2albii 1347	. 2 |- (A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. _I ))
21	6, 20	bitr4i 193	1 |- ((R i^i `'R) C_ _I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338   _I cid 3582  `'ccnv 3985  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002

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