Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  insiga Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem insiga 29033
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem insiga
Dummy variables  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4557 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
21biimpi 199 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  e. 
_V )
32adantr 472 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 intssuni 4248 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
54adantr 472 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  U. A
)
6 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )
7 elpwi 3951 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  (sigAlgebra `  O ) )
8 sigasspw 29012 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  C_  ~P O
)
9 selpw 3949 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
108, 9sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  e.  ~P ~P O )
1110ssriv 3422 . . . . . 6  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ~P ~P O
127, 11syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  ~P ~P O )
136, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  C_  ~P ~P O )
14 sspwuni 4360 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P ~P O  <->  U. A  C_  ~P O )
1513, 14sylib 201 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  U. A  C_  ~P O )
165, 15sstrd 3428 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  ~P O )
17 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  A )
18 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )
19 elelpwi 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  -> 
s  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2017, 18, 19syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
21 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
22 issiga 29007 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2420, 23sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2524simprd 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )
2625simp1d 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  O  e.  s )
2726ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. s  e.  A  O  e.  s )
28 n0 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. s  s  e.  A )
2928biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. s 
s  e.  A )
3029adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  A )
3120ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( s  e.  A  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3231eximdv 1772 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( E. s 
s  e.  A  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3330, 32mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O ) )
34 elfvex 5906 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3534exlimiv 1784 . . . . . 6  |-  ( E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3633, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  _V )
37 elintg 4234 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3836, 37syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3927, 38mpbird 240 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  |^| A )
40 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
41 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
4240, 41jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
43 elinti 4235 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  |^| A  ->  (
s  e.  A  ->  x  e.  s )
)
4443imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  s )
4544adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  s )
4625simp2d 1043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s )
4746r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  s )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4842, 45, 47syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4948ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s )
50 difexg 4545 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
5136, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  \  x )  e.  _V )
5251adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
53 elintg 4234 . . . . . 6  |-  ( ( O  \  x )  e.  _V  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5452, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5549, 54mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
|^| A )
5655ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A )
57 simplll 776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
58 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
5957, 58jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
60 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P |^| A )
61 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  x  C_  |^| A )
62 intss1 4241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  |^| A  C_  s )
6361, 62sylan9ss 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  C_  s
)
64 selpw 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
6563, 64sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  ~P s )
6660, 65sylancom 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P s )
6759, 66jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s ) )
68 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  ~<_  om )
6925simp3d 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7069r19.21bi 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7167, 68, 70sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  U. x  e.  s )
7271ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. s  e.  A  U. x  e.  s )
73 uniexg 6607 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  U. x  e.  _V )
7473ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  _V )
75 elintg 4234 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  _V  ->  ( U. x  e.  |^| A 
<-> 
A. s  e.  A  U. x  e.  s
) )
7674, 75syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( U. x  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  U. x  e.  s ) )
7772, 76mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  |^| A )
7877ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) )
7978ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) )
8039, 56, 793jca 1210 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A
) ) )
81 issiga 29007 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e. 
~P  |^| A ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) ) ) ) )
8281biimpar 493 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A
( O  \  x
)  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) ) ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
833, 16, 80, 82syl12anc 1290 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   omcom 6711    ~<_ cdom 7585  sigAlgebracsiga 29003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-siga 29004
This theorem is referenced by:  sigagensiga  29037
  Copyright terms: Public domain W3C validator