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Theorem insiga 27777
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem insiga
Dummy variables  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4603 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
21biimpi 194 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  e. 
_V )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 intssuni 4304 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  U. A
)
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )
7 elpwi 4019 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  (sigAlgebra `  O ) )
8 sigasspw 27756 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  C_  ~P O
)
9 selpw 4017 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
108, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  e.  ~P ~P O )
1110ssriv 3508 . . . . . 6  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ~P ~P O
127, 11syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  ~P ~P O )
136, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  C_  ~P ~P O )
14 sspwuni 4411 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P ~P O  <->  U. A  C_  ~P O )
1513, 14sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  U. A  C_  ~P O )
165, 15sstrd 3514 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  ~P O )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  A )
18 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )
19 elelpwi 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  -> 
s  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
21 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
22 issiga 27751 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2524simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )
2625simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  O  e.  s )
2726ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. s  e.  A  O  e.  s )
28 n0 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. s  s  e.  A )
2928biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. s 
s  e.  A )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  A )
3120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( s  e.  A  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3231eximdv 1686 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( E. s 
s  e.  A  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3330, 32mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O ) )
34 elfvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3534exlimiv 1698 . . . . . 6  |-  ( E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  _V )
37 elintg 4290 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3927, 38mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  |^| A )
40 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
4240, 41jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
43 elinti 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  |^| A  ->  (
s  e.  A  ->  x  e.  s )
)
4443imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  s )
4544adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  s )
4625simp2d 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s )
4746r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  s )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4842, 45, 47syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4948ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s )
50 difexg 4595 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
5136, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  \  x )  e.  _V )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
53 elintg 4290 . . . . . 6  |-  ( ( O  \  x )  e.  _V  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5452, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5549, 54mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
|^| A )
5655ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A )
57 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
5957, 58jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
60 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P |^| A )
61 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  x  C_  |^| A )
62 intss1 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  |^| A  C_  s )
6361, 62sylan9ss 3517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  C_  s
)
64 selpw 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
6563, 64sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  ~P s )
6660, 65sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P s )
6759, 66jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s ) )
68 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  ~<_  om )
6925simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7069r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7167, 68, 70sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  U. x  e.  s )
7271ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. s  e.  A  U. x  e.  s )
73 uniexg 6579 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  U. x  e.  _V )
7473ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  _V )
75 elintg 4290 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  _V  ->  ( U. x  e.  |^| A 
<-> 
A. s  e.  A  U. x  e.  s
) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( U. x  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  U. x  e.  s ) )
7772, 76mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  |^| A )
7877ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) )
7978ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) )
8039, 56, 793jca 1176 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A
) ) )
81 issiga 27751 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e. 
~P  |^| A ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) ) ) ) )
8281biimpar 485 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A
( O  \  x
)  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) ) ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
833, 16, 80, 82syl12anc 1226 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|cint 4282   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   omcom 6678    ~<_ cdom 7511  sigAlgebracsiga 27747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-siga 27748
This theorem is referenced by:  sigagensiga  27781
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