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Theorem insiga 24473
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem insiga
Dummy variables  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4316 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
21biimpi 187 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  e. 
_V )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 intssuni 4032 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  U. A
)
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )
7 elpwi 3767 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  (sigAlgebra `  O ) )
8 sigasspw 24452 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  C_  ~P O
)
9 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
109elpw 3765 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
118, 10sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  e.  ~P ~P O )
1211ssriv 3312 . . . . . 6  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ~P ~P O
137, 12syl6ss 3320 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  ~P ~P O )
146, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  C_  ~P ~P O )
15 sspwuni 4136 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P ~P O  <->  U. A  C_  ~P O )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  U. A  C_  ~P O )
175, 16sstrd 3318 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  ~P O )
18 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  A )
19 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )
20 elelpwi 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  -> 
s  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
22 issiga 24447 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
239, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2421, 23sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2524simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )
2625simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  O  e.  s )
2726ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. s  e.  A  O  e.  s )
28 n0 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. s  s  e.  A )
2928biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. s 
s  e.  A )
3029adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  A )
3121ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( s  e.  A  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3231eximdv 1629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( E. s 
s  e.  A  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3330, 32mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O ) )
34 elfvex 5717 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3534exlimiv 1641 . . . . . 6  |-  ( E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  _V )
37 elintg 4018 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3927, 38mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  |^| A )
40 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
41 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
4240, 41jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
43 elinti 4019 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  |^| A  ->  (
s  e.  A  ->  x  e.  s )
)
4443imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  s )
4544adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  s )
4625simp2d 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s )
4746r19.21bi 2764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  s )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4842, 45, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4948ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s )
50 difexg 4311 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
5136, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  \  x )  e.  _V )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
53 elintg 4018 . . . . . 6  |-  ( ( O  \  x )  e.  _V  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5452, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5549, 54mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
|^| A )
5655ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A )
57 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
58 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
5957, 58jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
60 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P |^| A )
61 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  x  C_  |^| A )
62 intss1 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  |^| A  C_  s )
6361, 62sylan9ss 3321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  C_  s
)
64 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
6564elpw 3765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
6663, 65sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  ~P s )
6760, 66sylancom 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P s )
6859, 67jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s ) )
69 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  ~<_  om )
7025simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7170r19.21bi 2764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7268, 69, 71sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  U. x  e.  s )
7372ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. s  e.  A  U. x  e.  s )
74 uniexg 4665 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  U. x  e.  _V )
7574ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  _V )
76 elintg 4018 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  _V  ->  ( U. x  e.  |^| A 
<-> 
A. s  e.  A  U. x  e.  s
) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( U. x  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  U. x  e.  s ) )
7873, 77mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  |^| A )
7978ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) )
8079ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) )
8139, 56, 803jca 1134 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A
) ) )
82 issiga 24447 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e. 
~P  |^| A ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) ) ) ) )
8382biimpar 472 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A
( O  \  x
)  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) ) ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
843, 17, 81, 83syl12anc 1182 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   omcom 4804   ` cfv 5413    ~<_ cdom 7066  sigAlgebracsiga 24443
This theorem is referenced by:  sigagensiga  24477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-siga 24444
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