Theorem inpc 14619

Description: Inclusion is a proper class.

Hypothesis

Ref	Expression
inpc.1	|- C = {<.x, y>. | x C_ y}

Assertion

Ref	Expression
inpc	|- -. C e. _V

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem inpc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 3449	. . 3 |- -. _V e. _V
2		inpc.1	. . . . . 6 |- C = {<.x, y>. | x C_ y}
3	2	dmeqi 4158	. . . . 5 |- dom C = dom {<.x, y>. | x C_ y}
4		dmopab 4167	. . . . 5 |- dom {<.x, y>. | x C_ y} = {x | E.y x C_ y}
5		abeq1 2000	. . . . . 6 |- ({x | E.y x C_ y} = _V <-> A.x(E.y x C_ y <-> x e. _V))
6		ssid 2634	. . . . . . . 8 |- x C_ x
7		equcomi 1487	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> x = y)
8	7	sseq2d 2645	. . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (x C_ x <-> x C_ y))
9	8	biimpd 170	. . . . . . . . 9 |- (y = x -> (x C_ x -> x C_ y))
10	9	a4imev 1650	. . . . . . . 8 |- (x C_ x -> E.y x C_ y)
11	6, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- E.y x C_ y
12		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
13	11, 12	2th 786	. . . . . 6 |- (E.y x C_ y <-> x e. _V)
14	5, 13	mpgbir 1334	. . . . 5 |- {x | E.y x C_ y} = _V
15	3, 4, 14	3eqtri 1912	. . . 4 |- dom C = _V
16	15	eleq1i 1960	. . 3 |- (dom C e. _V <-> _V e. _V)
17	1, 16	mtbir 209	. 2 |- -. dom C e. _V
18		dmexg 4206	. 2 |- (C e. _V -> dom C e. _V)
19	17, 18	mto 121	1 |- -. C e. _V

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {copab 3395  dom cdm 3986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain