Theorem innei 9012

Description: The intersection of two neighborhoods of a set is also a neighborhood of the set. Based on Bourbaki TG I.3 Vii. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
innei	|- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S)) -> (N i^i M) e. ((nei` J)` S))

Proof of Theorem innei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.J = U.J
2	1	neiss2 8992	. . . 4 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> S C_ U.J)
3	1	isnei 8994	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> ((N i^i M) e. ((nei` J)` S) <-> ((N i^i M) C_ U.J /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))))
4	2, 3	syldan 516	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> ((N i^i M) e. ((nei` J)` S) <-> ((N i^i M) C_ U.J /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))))
5	4	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S)) -> ((N i^i M) e. ((nei` J)` S) <-> ((N i^i M) C_ U.J /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))))
6	1	neii1 8997	. . . 4 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> N C_ U.J)
7		ssinss1 2821	. . . 4 |- (N C_ U.J -> (N i^i M) C_ U.J)
8	6, 7	syl 12	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> (N i^i M) C_ U.J)
9	8	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S)) -> (N i^i M) C_ U.J)
10		neii2 8998	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> E.h e. J (S C_ h /\ h C_ N))
11		neii2 8998	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` S)) -> E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M))
12	10, 11	anim12i 360	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (J e. Top /\ M e. ((nei` J)` S))) -> (E.h e. J (S C_ h /\ h C_ N) /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M)))
13	12	anandis 570	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S))) -> (E.h e. J (S C_ h /\ h C_ N) /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M)))
14		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = (h i^i v) -> (S C_ g <-> S C_ (h i^i v)))
15		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = (h i^i v) -> (g C_ (N i^i M) <-> (h i^i v) C_ (N i^i M)))
16	14, 15	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (g = (h i^i v) -> ((S C_ g /\ g C_ (N i^i M)) <-> (S C_ (h i^i v) /\ (h i^i v) C_ (N i^i M))))
17	16	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . 11 |- (((h i^i v) e. J /\ (S C_ (h i^i v) /\ (h i^i v) C_ (N i^i M))) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))
18		inopn 8869	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ h e. J /\ v e. J) -> (h i^i v) e. J)
19	18	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ h e. J) /\ v e. J) -> (h i^i v) e. J)
20		ssin 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S C_ h /\ S C_ v) <-> S C_ (h i^i v))
21	20	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S C_ h /\ S C_ v) -> S C_ (h i^i v))
22		ss2in 2820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((h C_ N /\ v C_ M) -> (h i^i v) C_ (N i^i M))
23	21, 22	anim12i 360	. . . . . . . . . . . 12 |- (((S C_ h /\ S C_ v) /\ (h C_ N /\ v C_ M)) -> (S C_ (h i^i v) /\ (h i^i v) C_ (N i^i M)))
24	23	an4s 566	. . . . . . . . . . 11 |- (((S C_ h /\ h C_ N) /\ (S C_ v /\ v C_ M)) -> (S C_ (h i^i v) /\ (h i^i v) C_ (N i^i M)))
25	17, 19, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ h e. J) /\ v e. J) /\ ((S C_ h /\ h C_ N) /\ (S C_ v /\ v C_ M))) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))
26	25	expr 418	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ h e. J) /\ v e. J) /\ (S C_ h /\ h C_ N)) -> ((S C_ v /\ v C_ M) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M))))
27	26	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ h e. J) /\ (S C_ h /\ h C_ N)) /\ v e. J) -> ((S C_ v /\ v C_ M) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M))))
28	27	r19.23adva 2216	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ h e. J) /\ (S C_ h /\ h C_ N)) -> (E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M))))
29	28	ex 402	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ h e. J) -> ((S C_ h /\ h C_ N) -> (E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))))
30	29	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- (J e. Top -> (E.h e. J (S C_ h /\ h C_ N) -> (E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))))
31	30	imp32 390	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (E.h e. J (S C_ h /\ h C_ N) /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ M))) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))
32	13, 31	syldan 516	. . 3 |- ((J e. Top /\ (N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S))) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))
33	32	3impb 1063	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S)) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ (N i^i M)))
34	5, 9, 33	mpbir2and 802	1 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S) /\ M e. ((nei` J)` S)) -> (N i^i M) e. ((nei` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neifil 10302  neificl 15841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain