MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inmbl Structured version   Unicode version

Theorem inmbl 22060
Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
inmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem inmbl
StepHypRef Expression
1 difundi 3692 . . 3  |-  ( RR 
\  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) ) )  =  ( ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )
2 mblss 22050 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 dfss4 3674 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  A
) )  =  A )
42, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  A ) )  =  A )
5 mblss 22050 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
6 dfss4 3674 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  B
) )  =  B )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  B ) )  =  B )
84, 7ineqan12d 3633 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  ( RR  \  A ) )  i^i  ( RR  \  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
91, 8syl5eq 2449 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  B ) )
10 cmmbl 22053 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
11 cmmbl 22053 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  B )  e.  dom  vol )
12 unmbl 22056 . . . 4  |-  ( ( ( RR  \  A
)  e.  dom  vol  /\  ( RR  \  B
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
1310, 11, 12syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( RR 
\  A )  u.  ( RR  \  B
) )  e.  dom  vol )
14 cmmbl 22053 . . 3  |-  ( ( ( RR  \  A
)  u.  ( RR 
\  B ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( RR  \ 
( ( RR  \  A )  u.  ( RR  \  B ) ) )  e.  dom  vol )
169, 15eqeltrrd 2485 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    \ cdif 3403    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   dom cdm 4930   RRcr 9424   volcvol 21983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-ioo 11476  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fl 11851  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-ovol 21984  df-vol 21985
This theorem is referenced by:  difmbl  22061  volinun  22064  uniioombllem4  22103  subopnmbl  22121  volsup2  22122  volcn  22123  volivth  22124  mbfid  22151  ismbfd  22155  mbfres  22159  mbfmax  22164  mbfimaopnlem  22170  mbfimaopn2  22172  mbfaddlem  22175  mbfadd  22176  mbfsub  22177  i1fadd  22210  i1fmul  22211  itg1addlem2  22212  itg1addlem4  22214  itg1addlem5  22215  i1fres  22220  itg1climres  22229  mbfi1fseqlem4  22233  mbfmul  22241  itg2monolem1  22265  itg2cnlem2  22277  mbfposadd  30267  itg2addnclem2  30273  ftc1anclem6  30301
  Copyright terms: Public domain W3C validator