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Theorem injresinjlem 11154
Description: Lemma for injresinj 11155. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinjlem  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )

Proof of Theorem injresinjlem
Dummy variables  f 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 11147 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
2 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  ->  F  Fn  ( 0 ... K ) )
32adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  F  Fn  (
0 ... K ) )
4 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
6 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e. 
NN0 )
7 nn0ge0 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
8 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 ... K )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  0  <_  K ) )
95, 6, 7, 8syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... K
) )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  e.  ( 0 ... K ) )
11 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
1211leidd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  <_  K )
13 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 0 ... K )  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  K  <_  K ) )
146, 6, 12, 13syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ( 0 ... K
) )
1514adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ( 0 ... K ) )
16 fnimapr 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  ( 0 ... K )  /\  0  e.  ( 0 ... K )  /\  K  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( F " { 0 ,  K } )  =  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) } )
173, 10, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F " { 0 ,  K } )  =  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) } )
1817ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  ( { ( F `  0
) ,  ( F `
 K ) }  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  <->  ( { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  i^i  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  =  (/) ) )
20 disj 3628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  i^i  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  =  (/) 
<-> 
A. f  e.  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) }  -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) )
2119, 20syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  <->  A. f  e.  { ( F `  0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
22 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
23 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 K )  e. 
_V
2422, 23pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  0 )  e.  _V  /\  ( F `  K )  e.  _V )
25 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( F ` 
0 )  ->  (
f  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
2625notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( F ` 
0 )  ->  ( -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
27 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( F `  K )  ->  (
f  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  K )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
2827notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( F `  K )  ->  ( -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
2926, 28ralprg 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  0
)  e.  _V  /\  ( F `  K )  e.  _V )  -> 
( A. f  e. 
{ ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <-> 
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) ) )
3024, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <-> 
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) ) )
31 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  y  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
3231eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
3332eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
3433notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
3534biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
36 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
37 elnn0uz 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3836, 37mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
39 fzoss1 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
41 fzossfz 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0..^ K )  C_  (
0 ... K )
4240, 41syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0 ... K ) )
43 fvelimab 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  ( 0 ... K )  /\  ( 1..^ K )  C_  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
442, 42, 43syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  E. z  e.  (
1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
4544notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
46 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
47 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
4847eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4948notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5049rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )
51 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
5251a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
5352a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
5453a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
5550, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
5655expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5756com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5846, 57sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -. 
E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `
 z )  =  ( F `  y
)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6045, 59sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6160com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6235, 61syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  0  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( F ` 
0 )  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  -> 
( y  =  0  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
6463com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0  ->  (
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  =  y  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
6665eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
6766eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
6867notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
6968biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
7069, 61syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  K  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( F ` 
0 )  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  -> 
( y  =  K  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7271com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  K  ->  (
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7364, 72jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7473com13 76 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7530, 74sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7621, 75sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7776com14 84 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7877com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " {
0 ,  K }
)  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7978com15 89 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( (
y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
80 elfznelfzo 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  =  0  \/  x  =  K ) )
81 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  x  =  y )
82 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
8382a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
8483a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8584a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
8685a1d 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8781, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8832adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  y ) )
89 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =  x  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9089eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9288, 91neeq12d 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  y )  =/=  ( F `  x )
) )
93 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
94 pm2.24 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
9594eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
9695com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
9793, 96sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9892, 97syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
9998a1d 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
10099a1d 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
101 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  x  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
102101eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  x ) )
10466adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
105103, 104neeq12d 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
106 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
107106, 51sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
108105, 107syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
109108a1d 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
110109a1d 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
111 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  x  =  y )
112111, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  ( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
11387, 100, 110, 112ccase 913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  /\  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
114113ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
11580, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
116115expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
11779, 116pm2.61i 158 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
118117com12 29 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1191, 118syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
120119ex 424 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
121120com23 74 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
122121impcom 420 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
123122com12 29 . 2  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
124123com25 87 1  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   class class class wbr 4172   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090
This theorem is referenced by:  injresinj  11155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
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