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Theorem injresinjlem 12056
Description: Lemma for injresinj 12057. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
injresinjlem  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )

Proof of Theorem injresinjlem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 12045 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
2 fvinim0ffz 12055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  <->  (
( F `  0
)  e/  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  ( F `
 K )  e/  ( F " ( 1..^ K ) ) ) ) )
3 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  0 )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) )
4 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  y  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
54eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
65eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
76notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
87biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
9 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  ->  F  Fn  ( 0 ... K ) )
10 1eluzge0 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
11 fzoss1 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
1210, 11mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
13 fzossfz 11965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0..^ K )  C_  (
0 ... K )
1412, 13syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0 ... K ) )
15 fvelimab 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  ( 0 ... K )  /\  ( 1..^ K )  C_  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
169, 14, 15syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  E. z  e.  (
1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
1716notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
18 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
19 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
2019eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2120notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2221rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )
23 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2423a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
25242a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
2726expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
2827com24 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
2918, 28sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -. 
E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `
 z )  =  ( F `  y
)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
3117, 30sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
338, 32syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  0  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
343, 33sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  0 )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  0
)  e/  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  ( F `
 K )  e/  ( F " ( 1..^ K ) ) )  ->  ( y  =  0  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( F ` 
0 )  e/  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  ( F `  K )  e/  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
37 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  K )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  K )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) )
38 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  =  y  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
3938eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
4039eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
4140notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
4241biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
4342, 32syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  K  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4437, 43sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  K )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  ->  ( y  =  K  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4544adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  0
)  e/  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  ( F `
 K )  e/  ( F " ( 1..^ K ) ) )  ->  ( y  =  K  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4645com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  K  ->  (
( ( F ` 
0 )  e/  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  ( F `  K )  e/  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4736, 46jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( ( F `  0 )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  /\  ( F `
 K )  e/  ( F " ( 1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4847com13 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `  0 )  e/  ( F "
( 1..^ K ) )  /\  ( F `
 K )  e/  ( F " ( 1..^ K ) ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
492, 48sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
5049com14 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
5150com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " {
0 ,  K }
)  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
5251com15 95 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( (
y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
53 elfznelfzo 12045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  =  0  \/  x  =  K ) )
54 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  x  =  y )
55 2a1 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
56552a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
585adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  y ) )
59 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =  x  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
6059eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
6258, 61neeq12d 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  y )  =/=  ( F `  x )
) )
63 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
64 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
6564eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
6665com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6763, 66sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
6862, 67syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
69682a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
70 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  x  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
7170eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  x ) )
7339adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
7472, 73neeq12d 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
75 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
7675, 23sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
7774, 76syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
78772a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
79 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  x  =  y )
8079, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  ( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8157, 69, 78, 80ccase 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  /\  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8281ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
8353, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
8483expcom 442 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
8552, 84pm2.61i 169 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
8685com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
871, 86syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
8887ex 441 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
8988com23 80 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
9089impcom 437 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
9190com12 31 . 2  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
9291com25 93 1  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {cpr 3961   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943
This theorem is referenced by:  injresinj  12057
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