MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  injresinj Unicode version

Theorem injresinj 11155
Description: A function whose restriction is injective and the values of the remaining arguments are different from all other values is injective itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinj  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) )

Proof of Theorem injresinj
Dummy variables  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2 0le1 9507 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
3 0z 10249 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
43eluz1i 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
51, 2, 4mpbir2an 887 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
6 fzoss1 11117 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K )
8 fzossfz 11112 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ K )  C_  (
0 ... K )
97, 8sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ K )  C_  (
0 ... K )
10 fssres 5569 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  ( 1..^ K )  C_  ( 0 ... K ) )  ->  ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )
119, 10mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( F  |`  (
1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )
1211biantrud 494 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  <->  ( Fun  `' ( F  |`  (
1..^ K ) )  /\  ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V ) ) )
13 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  /\  ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )  <-> 
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V  /\  Fun  `' ( F  |`  (
1..^ K ) ) ) )
14 df-f1 5418 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  <->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V  /\  Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) ) ) )
1513, 14bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  /\  ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )  <-> 
( F  |`  (
1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V )
1612, 15syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  <->  ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V ) )
17 simp-4r 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  F :
( 0 ... K
) --> V )
18 dff13 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  <->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V  /\  A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w ) ) )
19 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  x  ->  (
( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 x ) )
2019eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  <->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x
)  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w ) ) )
21 equequ1 1692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  (
v  =  w  <->  x  =  w ) )
2220, 21imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w )  <->  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 w )  ->  x  =  w )
) )
23 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  y  ->  (
( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 w )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 y ) )
2423eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  <->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x
)  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y ) ) )
25 equequ2 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
2624, 25imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  x  =  w )  <->  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2722, 26rspc2va 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w ) )  ->  (
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 y )  ->  x  =  y )
)
28 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2928eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( F `  x )  =  ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 x ) )
30 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
3130eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( F `  y )  =  ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 y ) )
3229, 31eqeqan12d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x
)  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y ) ) )
3332biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  (
( F  |`  (
1..^ K ) ) `
 x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 y ) ) )
3433imim1d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( (
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 y )  ->  x  =  y )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3534imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
3635a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3736a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
3837a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
3938a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
4039expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 x )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 y )  ->  x  =  y )  ->  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
4127, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  /\  A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w ) )  ->  (
( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) ) )
4241ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w )  ->  ( (
x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) ) )
4342pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w )  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
44 ianor 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  <->  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  \/  -.  y  e.  ( 1..^ K ) ) )
45 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
46 injresinjlem 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  x  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
y  =  x ) ) ) ) ) )
4746imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  x  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
y  =  x ) ) ) ) )
4847imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
) )  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  x  e.  ( 0 ... K ) ) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
y  =  x ) )
49 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
5048, 49syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
) )  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  x  e.  ( 0 ... K ) ) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
5145, 50syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
) )  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  x  e.  ( 0 ... K ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )
)  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... K
)  /\  x  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
5352ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  /\  ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )
)  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 ... K
)  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
5453exp41 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
55 injresinjlem 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
5654, 55jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  \/ 
-.  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5756a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  \/ 
-.  y  e.  ( 1..^ K ) )  ->  ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  -> 
v  =  w )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
5844, 57sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  y  e.  ( 1..^ K ) )  -> 
( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  -> 
v  =  w )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
5943, 58pm2.61i 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w )  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6059imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  -> 
v  =  w )  /\  ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )
)  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 ... K
)  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6160ralrimivv 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `
 w )  -> 
v  =  w )  /\  ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )
)  /\  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 ) )  /\  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  A. x  e.  (
0 ... K ) A. y  e.  ( 0 ... K ) ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
6261exp41 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w )  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K
) A. y  e.  ( 0 ... K
) ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) ) )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V  /\  A. v  e.  ( 1..^ K ) A. w  e.  ( 1..^ K ) ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  v )  =  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) `  w )  ->  v  =  w ) )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K ) A. y  e.  ( 0 ... K ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
6418, 63sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K
) A. y  e.  ( 0 ... K
) ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) ) )
6564com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K
) A. y  e.  ( 0 ... K
) ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) ) )
6665ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V  ->  ( ( ( F " {
0 ,  K }
)  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K ) A. y  e.  ( 0 ... K ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6766com24 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V  ->  ( ( F `  0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K ) A. y  e.  ( 0 ... K ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6867impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  (
1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( 0 ... K
) A. y  e.  ( 0 ... K
) ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) ) )
6968imp41 577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... K
) A. y  e.  ( 0 ... K
) ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) )
70 dff13 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0 ... K ) -1-1-> V  <->  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0 ... K ) A. y  e.  ( 0 ... K ) ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
7117, 69, 70sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  F :
( 0 ... K
) -1-1-> V )
7217biantrurd 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  ( Fun  `' F  <->  ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  Fun  `' F ) ) )
73 df-f1 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0 ... K ) -1-1-> V  <->  ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  Fun  `' F ) )
7472, 73syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  ( Fun  `' F  <->  F : ( 0 ... K ) -1-1-> V
) )
7571, 74mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  /\  F :
( 0 ... K
) --> V )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' F )
7675ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V  /\  F : ( 0 ... K ) --> V )  /\  ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )
)  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
( F " {
0 ,  K }
)  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) )
7776exp41 594 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K )
-1-1-> V  ->  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) ) ) )
7816, 77syl6bi 220 . . . 4  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  ->  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) ) ) ) )
7978pm2.43a 47 . . 3  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  -> 
( Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) ) ) )
80793imp 1147 . 2  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) )
8180com12 29 1  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  Fun  `' ( F  |`  ( 1..^ K ) )  /\  ( F `  0 )  =/=  ( F `  K ) )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  Fun  `' F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090
This theorem is referenced by:  pthdepisspth  21527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator