Theorem injrec 14461

Description: An application is injective if a retraction exists. Bourbaki E.II.18 prop. 8.

Assertion

Ref	Expression
injrec	|- ((F:A-->B /\ Fun R /\ (R o. F) = ( _I |` A)) -> F:A-1-1->B)

Proof of Theorem injrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 4850	. 2 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ A.x e. A A.y e. A ((F` x) = (F` y) -> x = y)))
2		simp1 876	. 2 |- ((F:A-->B /\ Fun R /\ (R o. F) = ( _I |` A)) -> F:A-->B)
3		fdm 4567	. . . . 5 |- (F:A-->B -> dom F = A)
4		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (A = dom F -> (x e. A <-> x e. dom F))
5		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (A = dom F -> (y e. A <-> y e. dom F))
6	4, 5	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (A = dom F -> ((x e. A /\ y e. A) <-> (x e. dom F /\ y e. dom F)))
7	6	eqcoms 1887	. . . . . . . 8 |- (dom F = A -> ((x e. A /\ y e. A) <-> (x e. dom F /\ y e. dom F)))
8	7	biimpd 170	. . . . . . 7 |- (dom F = A -> ((x e. A /\ y e. A) -> (x e. dom F /\ y e. dom F)))
9		ffun 4565	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> Fun F)
10		fvco 4736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Fun R /\ Fun F /\ x e. dom F) -> ((R o. F)` x) = (R` (F` x)))
11	10	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun R /\ Fun F) -> (x e. dom F -> ((R o. F)` x) = (R` (F` x))))
12		fvco 4736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Fun R /\ Fun F /\ y e. dom F) -> ((R o. F)` y) = (R` (F` y)))
13	12	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun R /\ Fun F) -> (y e. dom F -> ((R o. F)` y) = (R` (F` y))))
14	11, 13	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun R /\ Fun F) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> (((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ ((R o. F)` y) = (R` (F` y)))))
15		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` x) = (F` y) -> (R` (F` x)) = (R` (F` y)))
16		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ (R` (F` x)) = (R` (F` y))) -> ((R o. F)` x) = (R` (F` y)))
17		fveq1 4680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((R o. F)` y) = (( _I |` A)` y))
18		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` y) /\ ((R o. F)` y) = ((R o. F)` x)) -> (( _I |` A)` y) = ((R o. F)` x))
19		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) /\ (( _I |` A)` x) = x) -> (( _I |` A)` y) = x)
20		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((x = (( _I |` A)` y) /\ (( _I |` A)` y) = y) -> x = y)
21	20	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (x = (( _I |` A)` y) -> ((( _I |` A)` y) = y -> x = y))
22	21	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((( _I |` A)` y) = x -> ((( _I |` A)` y) = y -> x = y))
23	19, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) /\ (( _I |` A)` x) = x) -> ((( _I |` A)` y) = y -> x = y))
24	23	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) -> ((( _I |` A)` x) = x -> ((( _I |` A)` y) = y -> x = y)))
25	24	com3l 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((( _I |` A)` x) = x -> ((( _I |` A)` y) = y -> ((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) -> x = y)))
26	25	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((( _I |` A)` x) = x /\ (( _I |` A)` y) = y) -> ((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) -> x = y))
27		fvresi 4819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (x e. A -> (( _I |` A)` x) = x)
28		fvresi 4819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (y e. A -> (( _I |` A)` y) = y)
29	26, 27, 28	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((x e. A /\ y e. A) -> ((( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x) -> x = y))
30		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` x) /\ ((R o. F)` x) = (( _I |` A)` x)) -> (( _I |` A)` y) = (( _I |` A)` x))
31	29, 30	syl5com 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` x) /\ ((R o. F)` x) = (( _I |` A)` x)) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))
32	31	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` x) -> (((R o. F)` x) = (( _I |` A)` x) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))
33		fveq1 4680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((R o. F)` x) = (( _I |` A)` x))
34	32, 33	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` x) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))
35	18, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` y) /\ ((R o. F)` y) = ((R o. F)` x)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))
36	35	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` y) -> (((R o. F)` y) = ((R o. F)` x) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
37	36	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((( _I |` A)` y) = ((R o. F)` y) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> (((R o. F)` y) = ((R o. F)` x) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
38	37	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((R o. F)` y) = (( _I |` A)` y) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> (((R o. F)` y) = ((R o. F)` x) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
39	17, 38	mpcom 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((R o. F) = ( _I |` A) -> (((R o. F)` y) = ((R o. F)` x) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))
40		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((R o. F)` y) = (R` (F` y)) /\ (R` (F` y)) = ((R o. F)` x)) -> ((R o. F)` y) = ((R o. F)` x))
41	39, 40	syl5com 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((R o. F)` y) = (R` (F` y)) /\ (R` (F` y)) = ((R o. F)` x)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))
42	41	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((R` (F` y)) = ((R o. F)` x) -> (((R o. F)` y) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
43	42	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((R o. F)` x) = (R` (F` y)) -> (((R o. F)` y) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
44	16, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ (R` (F` x)) = (R` (F` y))) -> (((R o. F)` y) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
45	44	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((R o. F)` x) = (R` (F` x)) -> ((R` (F` x)) = (R` (F` y)) -> (((R o. F)` y) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))))
46	45	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((R o. F)` x) = (R` (F` x)) -> (((R o. F)` y) = (R` (F` y)) -> ((R` (F` x)) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y)))))
47	46	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ ((R o. F)` y) = (R` (F` y))) -> ((R` (F` x)) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> x = y))))
48	47	com4l 43	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((R` (F` x)) = (R` (F` y)) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ ((R o. F)` y) = (R` (F` y))) -> x = y))))
49	15, 48	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` x) = (F` y) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ ((R o. F)` y) = (R` (F` y))) -> x = y))))
50	49	com14 42	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((R o. F)` x) = (R` (F` x)) /\ ((R o. F)` y) = (R` (F` y))) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))
51	14, 50	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun R /\ Fun F) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y)))))
52	51	com24 41	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun R /\ Fun F) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y)))))
53	52	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (Fun R -> (Fun F -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
54	53	com3l 38	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> ((x e. A /\ y e. A) -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
55	9, 54	syl 12	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
56	55	com15 49	. . . . . . 7 |- ((x e. dom F /\ y e. dom F) -> ((x e. A /\ y e. A) -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> (F:A-->B -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
57	8, 56	syli 65	. . . . . 6 |- (dom F = A -> ((x e. A /\ y e. A) -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> (F:A-->B -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
58	57	com25 48	. . . . 5 |- (dom F = A -> (F:A-->B -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y))))))
59	3, 58	mpcom 60	. . . 4 |- (F:A-->B -> (Fun R -> ((R o. F) = ( _I |` A) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y)))))
60	59	3imp 1061	. . 3 |- ((F:A-->B /\ Fun R /\ (R o. F) = ( _I |` A)) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((F` x) = (F` y) -> x = y)))
61	60	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((F:A-->B /\ Fun R /\ (R o. F) = ( _I |` A)) -> A.x e. A A.y e. A ((F` x) = (F` y) -> x = y))
62	1, 2, 61	sylanbrc 527	1 |- ((F:A-->B /\ Fun R /\ (R o. F) = ( _I |` A)) -> F:A-1-1->B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   _I cid 3582  dom cdm 3986   |` cres 3988   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  injrec2 14466

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014

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