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Theorem initoeu2lem2 15922
Description: Lemma 2 for initoeu2 15923. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
initoeu1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  (InitO `  C ) )
initoeu2lem.x  |-  X  =  ( Base `  C
)
initoeu2lem.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
initoeu2lem.i  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
initoeu2lem.o  |-  .o.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem2  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  ( E! f  f  e.  ( A H D )  ->  E! g  g  e.  ( B H D ) ) )
Distinct variable groups:    A, g,
f    B, g, f    C, f, g    ph, g, f    D, f    f, F    f, I    f, K    f, H    f, X    .o. , f    D, g    g, F    g, H    g, I    g, K    g, X    .o. , g

Proof of Theorem initoeu2lem2
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  _V
2 eleq1 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  ->  ( g  e.  ( B H D )  <->  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
32spcegv 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  _V  ->  ( ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D )  ->  E. g 
g  e.  ( B H D ) ) )
41, 3mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D )  ->  E. g 
g  e.  ( B H D ) ) )
54com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D )  ->  ( ph  ->  E. g  g  e.  ( B H D ) ) )
653ad2ant3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) )  ->  ( ph  ->  E. g  g  e.  ( B H D ) ) )
76com12 32 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) )  ->  E. g  g  e.  ( B H D ) ) )
87a1d 26 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) )  ->  E. g  g  e.  ( B H D ) ) ) )
983imp 1203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  E. g 
g  e.  ( B H D ) )
109adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  ->  E. g  g  e.  ( B H D ) )
11 simpll1 1048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  ph )
12 simpll2 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X ) )
13 3simpb 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) )  ->  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
14133ad2ant3 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
1514adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  -> 
( K  e.  ( B I A )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
1615adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
17 simplr 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  E! f 
f  e.  ( A H D ) )
18 simpl32 1091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  ->  F  e.  ( A H D ) )
1918adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  F  e.  ( A H D ) )
20 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  g  e.  ( B H D ) )
21 initoeu1.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
22 initoeu1.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (InitO `  C ) )
23 initoeu2lem.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  C
)
24 initoeu2lem.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
25 initoeu2lem.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
26 initoeu2lem.o . . . . . . . . . 10  |-  .o.  =  (comp `  C )
2721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 15921 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  (
( E! f  f  e.  ( A H D )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  g  =  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K ) ) )
2827imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  ( E! f  f  e.  ( A H D )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  g  e.  ( B H D ) ) )  -> 
g  =  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
2911, 12, 16, 17, 19, 20, 28syl33anc 1284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  g  e.  ( B H D ) )  ->  g  =  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
3029adantrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) ) )  -> 
g  =  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
31 simpll1 1048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  ph )
32 simpll2 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X ) )
3315adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )
34 simplr 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  E! f 
f  e.  ( A H D ) )
3518adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  F  e.  ( A H D ) )
36 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  h  e.  ( B H D ) )
3721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 15921 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  (
( E! f  f  e.  ( A H D )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  h  =  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K ) ) )
3837imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  ( E! f  f  e.  ( A H D )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  h  e.  ( B H D ) ) )  ->  h  =  ( F
( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 38syl33anc 1284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  h  =  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
4039adantrl 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) ) )  ->  h  =  ( F
( <. B ,  A >.  .o.  D ) K ) )
4130, 40eqtr4d 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X
)  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  /\  ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) ) )  -> 
g  =  h )
4241ex 436 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  -> 
( ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  g  =  h ) )
4342alrimivv 1776 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) )  ->  g  =  h ) )
44 eleq1 2519 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  (
g  e.  ( B H D )  <->  h  e.  ( B H D ) ) )
4544eu4 2349 . . 3  |-  ( E! g  g  e.  ( B H D )  <-> 
( E. g  g  e.  ( B H D )  /\  A. g A. h ( ( g  e.  ( B H D )  /\  h  e.  ( B H D ) )  -> 
g  =  h ) ) )
4610, 43, 45sylanbrc 671 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F (
<. B ,  A >.  .o. 
D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  /\  E! f  f  e.  ( A H D ) )  ->  E! g  g  e.  ( B H D ) )
4746ex 436 1  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  /\  ( K  e.  ( B I A )  /\  F  e.  ( A H D )  /\  ( F ( <. B ,  A >.  .o.  D ) K )  e.  ( B H D ) ) )  ->  ( E! f  f  e.  ( A H D )  ->  E! g  g  e.  ( B H D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986   A.wal 1444    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   E!weu 2301   _Vcvv 3047   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   Hom chom 15213  compcco 15214   Catccat 15582    Iso ciso 15663  InitOcinito 15895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-cat 15586  df-cid 15587  df-sect 15664  df-inv 15665  df-iso 15666
This theorem is referenced by:  initoeu2  15923
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