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Theorem initoeu2lem2 15922
Description: Lemma 2 for initoeu2 15923. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c |- ( ph -> C e. Cat )
initoeu1.a |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
initoeu2lem.x |- X = ( Base ` C )
initoeu2lem.h |- H = ( Hom ` C )
initoeu2lem.i |- I = ( Iso ` C )
initoeu2lem.o |- .o. = (comp ` C )
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem2 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( E! f f e. ( A H D ) -> E! g g e. ( B H D ) ) )
Distinct variable groups:   A, g, f   B, g, f   C, f, g   ph, g, f   D, f   f, F   f, I   f, K   f, H   f, X   .o. , f   D, g   g, F   g, H   g, I   g, K   g, X   .o. , g
Proof of Theorem initoeu2lem2
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6323 . . . . . . . . . 10 |- ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. _V
2 eleq1 2519 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) -> ( g e. ( B H D ) <-> ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
32spcegv 3137 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. _V -> ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
41, 3mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
54com12 32 . . . . . . . 8 |- ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) -> ( ph -> E. g g e. ( B H D ) ) )
653ad2ant3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> ( ph -> E. g g e. ( B H D ) ) )
76com12 32 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) ) )
87a1d 26 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) -> ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) ) ) )
983imp 1203 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> E. g g e. ( B H D ) )
109adantr 467 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> E. g g e. ( B H D ) )
11 simpll1 1048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ph )
12 simpll2 1049 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) )
13 3simpb 1007 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
14133ad2ant3 1032 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
1514adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
1615adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
17 simplr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> E! f f e. ( A H D ) )
18 simpl32 1091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
1918adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
20 simpr 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g e. ( B H D ) )
21 initoeu1.c . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. Cat )
22 initoeu1.a . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
23 initoeu2lem.x . . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` C )
24 initoeu2lem.h . . . . . . . . . 10 |- H = ( Hom ` C )
25 initoeu2lem.i . . . . . . . . . 10 |- I = ( Iso ` C )
26 initoeu2lem.o . . . . . . . . . 10 |- .o. = (comp ` C )
2721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 15921 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ) )
2827imp 431 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ g e. ( B H D ) ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
2911, 12, 16, 17, 19, 20, 28syl33anc 1284 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ g e. ( B H D ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
3029adantrr 724 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> g = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
31 simpll1 1048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ph )
32 simpll2 1049 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) )
3315adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) )
34 simplr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> E! f f e. ( A H D ) )
3518adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> F e. ( A H D ) )
36 simpr 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h e. ( B H D ) )
3721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 15921 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ) )
3837imp 431 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A H D ) /\ F e. ( A H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 38syl33anc 1284 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ h e. ( B H D ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
4039adantrl 723 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> h = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
4130, 40eqtr4d 2490 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) /\ ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) ) -> g = h )
4241ex 436 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) )
4342alrimivv 1776 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> A. g A. h ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) )
44 eleq1 2519 . . . 4 |- ( g = h -> ( g e. ( B H D ) <-> h e. ( B H D ) ) )
4544eu4 2349 . . 3 |- ( E! g g e. ( B H D ) <-> ( E. g g e. ( B H D ) /\ A. g A. h ( ( g e. ( B H D ) /\ h e. ( B H D ) ) -> g = h ) ) )
4610, 43, 45sylanbrc 671 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) /\ E! f f e. ( A H D ) ) -> E! g g e. ( B H D ) )
4746ex 436 1 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B H D ) ) ) -> ( E! f f e. ( A H D ) -> E! g g e. ( B H D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   A.wal 1444   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   E!weu 2301   _Vcvv 3047   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   Hom chom 15213  compcco 15214   Catccat 15582   Iso ciso 15663  InitOcinito 15895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-cat 15586  df-cid 15587  df-sect 15664  df-inv 15665  df-iso 15666
This theorem is referenced by:  initoeu2  15923
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