Theorem inidl 16178

Description: The intersection of two ideals is an ideal.

Assertion

Ref	Expression
inidl	|- ((R e. Ring /\ I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> (I i^i J) e. (Idl` R))

Proof of Theorem inidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3251	. . 3 |- ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> |^|{I, J} = (I i^i J))
2	1	3adant1 894	. 2 |- ((R e. Ring /\ I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> |^|{I, J} = (I i^i J))
3		intidl 16177	. . . . 5 |- ((R e. Ring /\ {I, J} =/= (/) /\ {I, J} C_ (Idl` R)) -> |^|{I, J} e. (Idl` R))
4	3	3expb 1068	. . . 4 |- ((R e. Ring /\ ({I, J} =/= (/) /\ {I, J} C_ (Idl` R))) -> |^|{I, J} e. (Idl` R))
5		preq1 3098	. . . . . . . 8 |- (i = I -> {i, J} = {I, J})
6	5	neeq1d 2028	. . . . . . 7 |- (i = I -> ({i, J} =/= (/) <-> {I, J} =/= (/)))
7		visset 2295	. . . . . . . 8 |- i e. _V
8	7	prnz 3120	. . . . . . 7 |- {i, J} =/= (/)
9	6, 8	vtoclg 2346	. . . . . 6 |- (I e. (Idl` R) -> {I, J} =/= (/))
10	9	adantr 425	. . . . 5 |- ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> {I, J} =/= (/))
11		prssg 3140	. . . . . 6 |- ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) <-> {I, J} C_ (Idl` R)))
12	11	ibi 652	. . . . 5 |- ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> {I, J} C_ (Idl` R))
13	10, 12	jca 310	. . . 4 |- ((I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> ({I, J} =/= (/) /\ {I, J} C_ (Idl` R)))
14	4, 13	sylan2 500	. . 3 |- ((R e. Ring /\ (I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R))) -> |^|{I, J} e. (Idl` R))
15	14	3impb 1063	. 2 |- ((R e. Ring /\ I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> |^|{I, J} e. (Idl` R))
16	2, 15	eqeltrrd 1972	1 |- ((R e. Ring /\ I e. (Idl` R) /\ J e. (Idl` R)) -> (I i^i J) e. (Idl` R))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {cpr 3045  |^|cint 3214  ` cfv 3998  Ringcring 9463  Idlcidl 16155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-idl 16158

Copyright terms: Public domain