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Theorem ingru 8646
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Distinct variable group:   x, y, A
Allowed substitution hints:   U( x, y)
Proof of Theorem ingru
Dummy variable u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3495 . . . . 5 |- ( u = U -> ( u i^i A ) = ( U i^i A ) )
21eleq1d 2470 . . . 4 |- ( u = U -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( U i^i A ) e. Univ ) )
32imbi2d 308 . . 3 |- ( u = U -> ( ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) <-> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) ) )
4 elgrug 8623 . . . . . 6 |- ( u e. Univ -> ( u e. Univ <-> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) ) )
54ibi 233 . . . . 5 |- ( u e. Univ -> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
6 trin 4272 . . . . . . 7 |- ( ( Tr u /\ Tr A ) -> Tr ( u i^i A ) )
76ex 424 . . . . . 6 |- ( Tr u -> ( Tr A -> Tr ( u i^i A ) ) )
8 inss1 3521 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ u
9 ssralv 3367 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) )
11 inss2 3522 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ A
12 ssralv 3367 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
14 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P x e. ( u i^i A ) <-> ( ~P x e. u /\ ~P x e. A ) )
1514simplbi2 609 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P x e. u -> ( ~P x e. A -> ~P x e. ( u i^i A ) ) )
16 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u ) )
178, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u )
18 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A ) )
1911, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A )
20 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ( u i^i A ) <-> ( { x , y } e. u /\ { x , y } e. A ) )
2120simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. u -> ( { x , y } e. A -> { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2221ral2imi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u -> ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 36 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2415, 23im2anan9 809 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) ) )
25 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
26 mapss 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. _V /\ ( u i^i A ) C_ u ) -> ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) )
2725, 8, 26mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x )
28 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) -> ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u )
3025inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) e. _V
31 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
3230, 31elmap 7001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) <-> y : x --> ( u i^i A ) )
33 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y : x --> ( u i^i A ) /\ ( u i^i A ) C_ A ) -> y : x --> A )
3411, 33mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y : x --> ( u i^i A ) -> y : x --> A )
3532, 34sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> y : x --> A )
3635imim1i 56 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3736alimi 1565 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
38 df-ral 2671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A <-> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3937, 38sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A )
40 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ran y e. ( u i^i A ) <-> ( U. ran y e. u /\ U. ran y e. A ) )
4140simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran y e. u -> ( U. ran y e. A -> U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4241ral2imi 2742 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 36 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4424, 43im2anan9 809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
45443impa 1148 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
46 df-3an 938 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) <-> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
47 df-3an 938 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) <-> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4845, 46, 473imtr4g 262 . . . . . . . 8 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
4948ral2imi 2742 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 36 . . . . . 6 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
517, 50im2anan9 809 . . . . 5 |- ( ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
525, 51syl 16 . . . 4 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
53 elgrug 8623 . . . . 5 |- ( ( u i^i A ) e. _V -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 8 . . . 4 |- ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5552, 54syl6ibr 219 . . 3 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) )
563, 55vtoclga 2977 . 2 |- ( U e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
5756com12 29 1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {cpr 3775   U.cuni 3975   Tr wtr 4262   ran crn 4838   -->wf 5409  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977   Univcgru 8621
This theorem is referenced by:  wfgru  8647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-gru 8622
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