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Theorem ingru 9205
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem ingru
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3698 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
u  i^i  A )  =  ( U  i^i  A ) )
21eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  i^i  A
)  e.  Univ  <->  ( U  i^i  A )  e.  Univ ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  (
u  i^i  A )  e.  Univ )  <->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) ) )
4 elgrug 9182 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( u  e.  Univ  <->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) ) ) )
54ibi 241 . . . . 5  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) )
6 trin 4556 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  u  /\  Tr  A )  ->  Tr  ( u  i^i  A ) )
76ex 434 . . . . . 6  |-  ( Tr  u  ->  ( Tr  A  ->  Tr  ( u  i^i  A ) ) )
8 inss1 3723 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
9 ssralv 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  u  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u ) )
11 inss2 3724 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
12 ssralv 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) ) )
14 elin 3692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  <->  ( ~P x  e.  u  /\  ~P x  e.  A
) )
1514simplbi2 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P x  e.  u  -> 
( ~P x  e.  A  ->  ~P x  e.  ( u  i^i  A
) ) )
16 ssralv 3569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  u ) )
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  u
)
18 ssralv 3569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  A ) )
1911, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  A
)
20 elin 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x ,  y }  e.  ( u  i^i 
A )  <->  ( {
x ,  y }  e.  u  /\  {
x ,  y }  e.  A ) )
2120simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  e.  u  ->  ( { x ,  y }  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2221ral2imi 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  u  ->  ( A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  ->  ( A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  ->  A. y  e.  (
u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) )
2415, 23im2anan9 833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u )  ->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  -> 
( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) ) ) )
25 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
26 mapss 7473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( u  i^i  A ) 
C_  u )  -> 
( ( u  i^i 
A )  ^m  x
)  C_  ( u  ^m  x ) )
2725, 8, 26mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  C_  ( u  ^m  x
)
28 ssralv 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  ^m  x )  C_  ( u  ^m  x
)  ->  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)
3025inex1 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  e. 
_V
31 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
3230, 31elmap 7459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  <->  y :
x --> ( u  i^i 
A ) )
33 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y : x --> ( u  i^i  A )  /\  ( u  i^i  A ) 
C_  A )  -> 
y : x --> A )
3411, 33mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y : x --> ( u  i^i  A )  -> 
y : x --> A )
3532, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  ->  y : x --> A )
3635imim1i 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
)  ->  U. ran  y  e.  A ) )
3736alimi 1614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )  ->  A. y ( y  e.  ( ( u  i^i  A )  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  A )
)
38 df-ral 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ( (
u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  A  <->  A. y
( y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  A ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  A
)
40 elin 3692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ran  y  e.  (
u  i^i  A )  <->  ( U. ran  y  e.  u  /\  U. ran  y  e.  A )
)
4140simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  y  e.  u  ->  ( U. ran  y  e.  A  ->  U. ran  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )
4241ral2imi 2855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( (
u  i^i  A )  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  ( A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  A  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i  A
)  ^m  x ) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 38 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  ->  ( A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
)  ->  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )
4424, 43im2anan9 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u )  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )  ->  ( ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
45443impa 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( (
( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
46 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  <->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  {
x ,  y }  e.  A )  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )
47 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) )  <->  ( ( ~P x  e.  (
u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A ) )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )
4845, 46, 473imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  ( ~P x  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A ) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
4948ral2imi 2855 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( u  i^i  A ) ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )  ->  ( A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 38 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
)  ->  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
517, 50im2anan9 833 . . . . 5  |-  ( ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( Tr  ( u  i^i  A
)  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
525, 51syl 16 . . . 4  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( Tr  ( u  i^i  A
)  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
53 elgrug 9182 . . . . 5  |-  ( ( u  i^i  A )  e.  _V  ->  (
( u  i^i  A
)  e.  Univ  <->  ( Tr  ( u  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A
) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( u  i^i  A )  e.  Univ  <->  ( Tr  (
u  i^i  A )  /\  A. x  e.  ( u  i^i  A ) ( ~P x  e.  ( u  i^i  A
)  /\  A. y  e.  ( u  i^i  A
) { x ,  y }  e.  ( u  i^i  A )  /\  A. y  e.  ( ( u  i^i 
A )  ^m  x
) U. ran  y  e.  ( u  i^i  A
) ) ) )
5552, 54syl6ibr 227 . . 3  |-  ( u  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  (
u  i^i  A )  e.  Univ ) )
563, 55vtoclga 3182 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
5756com12 31 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  ( ~P x  e.  A  /\  A. y  e.  A  { x ,  y }  e.  A  /\  A. y ( y : x --> A  ->  U. ran  y  e.  A )
) )  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( U  i^i  A )  e. 
Univ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {cpr 4035   U.cuni 4251   Tr wtr 4546   ran crn 5006   -->wf 5590  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Univcgru 9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-gru 9181
This theorem is referenced by:  wfgru  9206
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