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Theorem ingru 9196
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Distinct variable group:   x, y, A
Allowed substitution hints:   U( x, y)
Proof of Theorem ingru
Dummy variable u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3678 . . . . 5 |- ( u = U -> ( u i^i A ) = ( U i^i A ) )
21eleq1d 2512 . . . 4 |- ( u = U -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( U i^i A ) e. Univ ) )
32imbi2d 316 . . 3 |- ( u = U -> ( ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) <-> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) ) )
4 elgrug 9173 . . . . . 6 |- ( u e. Univ -> ( u e. Univ <-> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) ) )
54ibi 241 . . . . 5 |- ( u e. Univ -> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
6 trin 4540 . . . . . . 7 |- ( ( Tr u /\ Tr A ) -> Tr ( u i^i A ) )
76ex 434 . . . . . 6 |- ( Tr u -> ( Tr A -> Tr ( u i^i A ) ) )
8 inss1 3703 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ u
9 ssralv 3549 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) )
11 inss2 3704 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ A
12 ssralv 3549 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
14 elin 3672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P x e. ( u i^i A ) <-> ( ~P x e. u /\ ~P x e. A ) )
1514simplbi2 625 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P x e. u -> ( ~P x e. A -> ~P x e. ( u i^i A ) ) )
16 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u ) )
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u )
18 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A ) )
1911, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A )
20 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ( u i^i A ) <-> ( { x , y } e. u /\ { x , y } e. A ) )
2120simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. u -> ( { x , y } e. A -> { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2221ral2imi 2831 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u -> ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2415, 23im2anan9 835 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) ) )
25 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
26 mapss 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. _V /\ ( u i^i A ) C_ u ) -> ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) )
2725, 8, 26mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x )
28 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) -> ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u )
3025inex1 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) e. _V
31 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
3230, 31elmap 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) <-> y : x --> ( u i^i A ) )
33 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y : x --> ( u i^i A ) /\ ( u i^i A ) C_ A ) -> y : x --> A )
3411, 33mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y : x --> ( u i^i A ) -> y : x --> A )
3532, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> y : x --> A )
3635imim1i 58 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3736alimi 1620 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
38 df-ral 2798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A <-> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A )
40 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ran y e. ( u i^i A ) <-> ( U. ran y e. u /\ U. ran y e. A ) )
4140simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran y e. u -> ( U. ran y e. A -> U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4241ral2imi 2831 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 38 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4424, 43im2anan9 835 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
45443impa 1192 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
46 df-3an 976 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) <-> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
47 df-3an 976 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) <-> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4845, 46, 473imtr4g 270 . . . . . . . 8 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
4948ral2imi 2831 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 38 . . . . . 6 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
517, 50im2anan9 835 . . . . 5 |- ( ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
525, 51syl 16 . . . 4 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
53 elgrug 9173 . . . . 5 |- ( ( u i^i A ) e. _V -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5552, 54syl6ibr 227 . . 3 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) )
563, 55vtoclga 3159 . 2 |- ( U e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
5756com12 31 1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   A.wal 1381   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {cpr 4016   U.cuni 4234   Tr wtr 4530   ran crn 4990   -->wf 5574  (class class class)co 6281   ^m cmap 7422   Univcgru 9171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-gru 9172
This theorem is referenced by:  wfgru  9197
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