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Theorem ingru 9240
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Distinct variable group:   x, y, A
Allowed substitution hints:   U( x, y)
Proof of Theorem ingru
Dummy variable u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3627 . . . . 5 |- ( u = U -> ( u i^i A ) = ( U i^i A ) )
21eleq1d 2513 . . . 4 |- ( u = U -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( U i^i A ) e. Univ ) )
32imbi2d 318 . . 3 |- ( u = U -> ( ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) <-> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) ) )
4 elgrug 9217 . . . . . 6 |- ( u e. Univ -> ( u e. Univ <-> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) ) )
54ibi 245 . . . . 5 |- ( u e. Univ -> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
6 trin 4507 . . . . . . 7 |- ( ( Tr u /\ Tr A ) -> Tr ( u i^i A ) )
76ex 436 . . . . . 6 |- ( Tr u -> ( Tr A -> Tr ( u i^i A ) ) )
8 inss1 3652 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ u
9 ssralv 3493 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) )
11 inss2 3653 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ A
12 ssralv 3493 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
14 elin 3617 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P x e. ( u i^i A ) <-> ( ~P x e. u /\ ~P x e. A ) )
1514simplbi2 631 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P x e. u -> ( ~P x e. A -> ~P x e. ( u i^i A ) ) )
16 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u ) )
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u )
18 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A ) )
1911, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A )
20 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ( u i^i A ) <-> ( { x , y } e. u /\ { x , y } e. A ) )
2120simplbi2 631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. u -> ( { x , y } e. A -> { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2221ral2imi 2776 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u -> ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 39 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2415, 23im2anan9 846 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) ) )
25 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
26 mapss 7514 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. _V /\ ( u i^i A ) C_ u ) -> ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) )
2725, 8, 26mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x )
28 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) -> ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u )
3025inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) e. _V
31 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
3230, 31elmap 7500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) <-> y : x --> ( u i^i A ) )
33 fss 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y : x --> ( u i^i A ) /\ ( u i^i A ) C_ A ) -> y : x --> A )
3411, 33mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y : x --> ( u i^i A ) -> y : x --> A )
3532, 34sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> y : x --> A )
3635imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3736alimi 1684 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
38 df-ral 2742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A <-> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3937, 38sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A )
40 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ran y e. ( u i^i A ) <-> ( U. ran y e. u /\ U. ran y e. A ) )
4140simplbi2 631 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran y e. u -> ( U. ran y e. A -> U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4241ral2imi 2776 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 39 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4424, 43im2anan9 846 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
45443impa 1203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
46 df-3an 987 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) <-> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
47 df-3an 987 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) <-> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4845, 46, 473imtr4g 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
4948ral2imi 2776 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 39 . . . . . 6 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
517, 50im2anan9 846 . . . . 5 |- ( ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
525, 51syl 17 . . . 4 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
53 elgrug 9217 . . . . 5 |- ( ( u i^i A ) e. _V -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5552, 54syl6ibr 231 . . 3 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) )
563, 55vtoclga 3113 . 2 |- ( U e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
5756com12 32 1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   U.cuni 4198   Tr wtr 4497   ran crn 4835   -->wf 5578  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   Univcgru 9215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-map 7474  df-gru 9216
This theorem is referenced by:  wfgru  9241
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