MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpencOLD Structured version   Unicode version

Theorem infxpencOLD 8187
Description: A canonical version of infxpen 8179, by a completely different approach (although it uses infxpen 8179 via xpomen 8180). Using Cantor's normal form, we can show that  A  ^o  B respects equinumerosity (oef1oOLD 7929), so that all the steps of  ( om ^ W
)  x.  ( om
^ W )  ~~  om
^ ( 2 W )  ~~  ( om ^
2 ) ^ W  ~~  om ^ W can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on  N can be satisfied using cnfcom3cOLD 7945.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc 8182 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpencOLD.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpencOLD.2  |-  ( ph  ->  om  C_  A )
infxpencOLD.3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
infxpencOLD.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpencOLD.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpencOLD.6  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
infxpencOLD.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpencOLD.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpencOLD.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpencOLD.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpencOLD.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpencOLD.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpencOLD.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpencOLD.t  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
infxpencOLD.g  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpencOLD  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, N, y    ph, x, y   
x, w, y, z, W    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( z, w)    T( x, y, z, w)    F( z, w)    G( x, y, z, w)    H( x, y, z, w)    J( x, y, z, w)    K( x, y, z, w)    L( x, y, z, w)    N( z, w)    X( z, w)    Y( z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem infxpencOLD
StepHypRef Expression
1 infxpencOLD.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
2 f1ocnv 5651 . . . 4  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  `' N : ( om  ^o  W ) -1-1-onto-> A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A )
4 infxpencOLD.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 f1oi 5674 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W )
7 omelon 7850 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
9 2on 6926 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
10 oecl 6975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( om  ^o  2o )  e.  On )
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  On )
129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
13 peano1 6493 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
15 oen0 7023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
168, 12, 14, 15syl21anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
17 ondif1 6939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o )  <->  ( ( om 
^o  2o )  e.  On  /\  (/)  e.  ( om  ^o  2o ) ) )
1811, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o ) )
19 infxpencOLD.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
2019eldifad 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
21 infxpencOLD.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
22 infxpencOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
23 infxpencOLD.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1oOLD 7929 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
25 f1oi 5674 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om )
27 infxpencOLD.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
28 infxpencOLD.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
2927, 28omf1o 7412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
3020, 9, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
31 ondif1 6939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  ( On  \  1o )  <->  ( om  e.  On  /\  (/)  e.  om )
)
327, 13, 31mpbir2an 911 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  ( On  \  1o )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  e.  ( On 
\  1o ) )
34 omcl 6974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( W  .o  2o )  e.  On )
3520, 9, 34sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  e.  On )
36 omcl 6974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
3712, 20, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
38 fvresi 5902 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
3913, 38mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
40 infxpencOLD.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
41 infxpencOLD.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1oOLD 7929 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
43 oeoe 7036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  (
( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
448, 12, 20, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W
) ) )
45 f1oeq3 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) )  ->  ( J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4742, 46mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )
48 f1oco 5661 . . . . . . 7  |-  ( ( H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )  ->  ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
4924, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
50 df-2o 6919 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
5150oveq2i 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  .o  2o )  =  ( W  .o  suc  1o )
52 1on 6925 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
53 omsuc 6964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5420, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5551, 54syl5eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
56 om1 6979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  On  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5857oveq1d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( W  .o  1o )  +o  W
)  =  ( W  +o  W ) )
5955, 58eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( W  +o  W ) )
6059oveq2d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( om  ^o  ( W  +o  W
) ) )
61 oeoa 7034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
628, 20, 20, 61syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
6360, 62eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
64 f1oeq2 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) )  ->  (
( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( H  o.  J ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <-> 
( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
6649, 65mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
67 oecl 6975 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
688, 20, 67syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
69 infxpencOLD.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
7069omxpenlem 7410 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( om  ^o  W )  e.  On )  ->  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
7168, 68, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
72 f1oco 5661 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z ) : ( ( om  ^o  W
)  X.  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
7366, 71, 72syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
74 f1of 5639 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N : A
--> ( om  ^o  W
) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N : A --> ( om 
^o  W ) )
7675feqmptd 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) )
77 f1oeq1 5630 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `  x ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
791, 78mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( N `  x
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8075feqmptd 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) )
81 f1oeq1 5630 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `  y ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
831, 82mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( N `  y
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8479, 83xpf1o 7471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
85 infxpencOLD.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
86 f1oeq1 5630 . . . . . 6  |-  ( T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  <. ( N `  x ) ,  ( N `  y )
>. )  ->  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
8884, 87sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
89 f1oco 5661 . . . 4  |-  ( ( ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( (
( H  o.  J
)  o.  Z )  o.  T ) : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
9073, 88, 89syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
91 f1oco 5661 . . 3  |-  ( ( `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
923, 90, 91syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
93 infxpencOLD.g . . 3  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
94 f1oeq1 5630 . . 3  |-  ( G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )  ->  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A ) )
9593, 94ax-mp 5 . 2  |-  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
9692, 95sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    C_ wss 3326   (/)c0 3635   <.cop 3881    e. cmpt 4348    _I cid 4629   Oncon0 4717   suc csuc 4719    X. cxp 4836   `'ccnv 4837    |` cres 4840   "cima 4841    o. ccom 4842   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   omcom 6474   1oc1o 6911   2oc2o 6912    +o coa 6915    .o comu 6916    ^o coe 6917    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   CNF ccnf 7865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-seqom 6901  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-oexp 6924  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-oi 7722  df-cnf 7866
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2OLD  8188
  Copyright terms: Public domain W3C validator