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Theorem infxpencOLD 8403
Description: A canonical version of infxpen 8395, by a completely different approach (although it uses infxpen 8395 via xpomen 8396). Using Cantor's normal form, we can show that  A  ^o  B respects equinumerosity (oef1oOLD 8145), so that all the steps of  ( om ^ W
)  x.  ( om
^ W )  ~~  om
^ ( 2 W )  ~~  ( om ^
2 ) ^ W  ~~  om ^ W can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on  N can be satisfied using cnfcom3cOLD 8161.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc 8398 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpencOLD.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpencOLD.2  |-  ( ph  ->  om  C_  A )
infxpencOLD.3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
infxpencOLD.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpencOLD.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpencOLD.6  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
infxpencOLD.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpencOLD.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpencOLD.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpencOLD.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpencOLD.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpencOLD.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpencOLD.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpencOLD.t  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
infxpencOLD.g  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpencOLD  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, N, y    ph, x, y   
x, w, y, z, W    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( z, w)    T( x, y, z, w)    F( z, w)    G( x, y, z, w)    H( x, y, z, w)    J( x, y, z, w)    K( x, y, z, w)    L( x, y, z, w)    N( z, w)    X( z, w)    Y( z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem infxpencOLD
StepHypRef Expression
1 infxpencOLD.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
2 f1ocnv 5818 . . . 4  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  `' N : ( om  ^o  W ) -1-1-onto-> A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A )
4 infxpencOLD.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 f1oi 5841 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W )
7 omelon 8066 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
9 2on 7140 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
10 oecl 7189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( om  ^o  2o )  e.  On )
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  On )
129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
13 peano1 6704 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
15 oen0 7237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
168, 12, 14, 15syl21anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
17 ondif1 7153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o )  <->  ( ( om 
^o  2o )  e.  On  /\  (/)  e.  ( om  ^o  2o ) ) )
1811, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o ) )
19 infxpencOLD.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
2019eldifad 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
21 infxpencOLD.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
22 infxpencOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
23 infxpencOLD.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1oOLD 8145 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
25 f1oi 5841 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om )
27 infxpencOLD.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
28 infxpencOLD.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
2927, 28omf1o 7622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
3020, 9, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
31 ondif1 7153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  ( On  \  1o )  <->  ( om  e.  On  /\  (/)  e.  om )
)
327, 13, 31mpbir2an 920 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  ( On  \  1o )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  e.  ( On 
\  1o ) )
34 omcl 7188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( W  .o  2o )  e.  On )
3520, 9, 34sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  e.  On )
36 omcl 7188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
3712, 20, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
38 fvresi 6082 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
3913, 38mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
40 infxpencOLD.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
41 infxpencOLD.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1oOLD 8145 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
43 oeoe 7250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  (
( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
448, 12, 20, 43syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W
) ) )
45 f1oeq3 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) )  ->  ( J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4742, 46mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )
48 f1oco 5828 . . . . . . 7  |-  ( ( H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )  ->  ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
4924, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
50 df-2o 7133 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
5150oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  .o  2o )  =  ( W  .o  suc  1o )
52 1on 7139 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
53 omsuc 7178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5420, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5551, 54syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
56 om1 7193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  On  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5857oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( W  .o  1o )  +o  W
)  =  ( W  +o  W ) )
5955, 58eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( W  +o  W ) )
6059oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( om  ^o  ( W  +o  W
) ) )
61 oeoa 7248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
628, 20, 20, 61syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
6360, 62eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
64 f1oeq2 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) )  ->  (
( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( H  o.  J ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <-> 
( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
6649, 65mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
67 oecl 7189 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
688, 20, 67syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
69 infxpencOLD.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
7069omxpenlem 7620 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( om  ^o  W )  e.  On )  ->  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
7168, 68, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
72 f1oco 5828 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z ) : ( ( om  ^o  W
)  X.  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
7366, 71, 72syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
74 f1of 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N : A
--> ( om  ^o  W
) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N : A --> ( om 
^o  W ) )
7675feqmptd 5911 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) )
77 f1oeq1 5797 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `  x ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
791, 78mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( N `  x
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8075feqmptd 5911 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) )
81 f1oeq1 5797 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `  y ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
831, 82mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( N `  y
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8479, 83xpf1o 7681 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
85 infxpencOLD.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
86 f1oeq1 5797 . . . . . 6  |-  ( T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  <. ( N `  x ) ,  ( N `  y )
>. )  ->  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
8884, 87sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
89 f1oco 5828 . . . 4  |-  ( ( ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( (
( H  o.  J
)  o.  Z )  o.  T ) : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
9073, 88, 89syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
91 f1oco 5828 . . 3  |-  ( ( `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
923, 90, 91syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
93 infxpencOLD.g . . 3  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
94 f1oeq1 5797 . . 3  |-  ( G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )  ->  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A ) )
9593, 94ax-mp 5 . 2  |-  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
9692, 95sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   <.cop 4020    |-> cmpt 4495    _I cid 4780   Oncon0 4868   suc csuc 4870    X. cxp 4987   `'ccnv 4988    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   omcom 6685   1oc1o 7125   2oc2o 7126    +o coa 7129    .o comu 7130    ^o coe 7131    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   CNF ccnf 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-cnf 8082
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2OLD  8404
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