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Theorem infxpenc2lem2OLD 8353
Description: Lemma for infxpenc2OLD 8355. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc2lem2 8349 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2OLD.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2OLD.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2OLD.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2OLD.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2OLD.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpenc2OLD.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpenc2OLD.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpenc2OLD.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpenc2OLD.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpenc2OLD.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpenc2OLD.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpenc2OLD.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpenc2OLD.t  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
infxpenc2OLD.g  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem2OLD  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, y, A    ph, b, w, x, y   
z, g, W, w, x, y    g, F, x, y    g, G   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, g, n)    A( z)    T( x, y, z, w, g, n, b)    F( z, w, n, b)    G( x, y, z, w, n, b)    H( x, y, z, w, g, n, b)    J( x, y, z, w, g, n, b)    K( x, y, z, w, g, n, b)    L( x, y, z, w, g, n, b)    W( n, b)    X( z, w, g, n, b)    Y( z, w, g, n, b)    Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2OLD
StepHypRef Expression
1 infxpenc2OLD.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 mptexg 6079 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
41adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  A  e.  On )
5 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  A )
6 onelon 4846 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  On )
74, 5, 6syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  On )
8 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  om  C_  b
)
9 infxpenc2OLD.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
10 infxpenc2OLD.3 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
111, 9, 10infxpenc2lem1 8348 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
1211simpld 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
13 infxpenc2OLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
1413adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  F : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )
15 infxpenc2OLD.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1711simprd 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
18 infxpenc2OLD.k . . . . . 6  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
19 infxpenc2OLD.h . . . . . 6  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
20 infxpenc2OLD.l . . . . . 6  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
21 infxpenc2OLD.x . . . . . 6  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
22 infxpenc2OLD.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
23 infxpenc2OLD.j . . . . . 6  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
24 infxpenc2OLD.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
25 infxpenc2OLD.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
26 infxpenc2OLD.g . . . . . 6  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
277, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26infxpencOLD 8352 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
28 f1of 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  ->  G :
( b  X.  b
) --> b )
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) --> b )
30 vex 3061 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3130, 30xpex 6542 . . . . . . . 8  |-  ( b  X.  b )  e. 
_V
32 fex 6082 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( b  X.  b ) --> b  /\  ( b  X.  b )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
3329, 31, 32sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G  e.  _V )
34 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  A  |->  G )  =  ( b  e.  A  |->  G )
3534fvmpt2 5897 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  A  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b )  =  G )
365, 33, 35syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G )
37 f1oeq1 5746 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G  -> 
( ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b 
<->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3836, 37syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3927, 38mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
4039expr 613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4140ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
42 nfmpt1 4483 . . . . 5  |-  F/_ b
( b  e.  A  |->  G )
4342nfeq2 2581 . . . 4  |-  F/ b  g  =  ( b  e.  A  |->  G )
44 fveq1 5804 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( g `  b
)  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) )
45 f1oeq1 5746 . . . . . 6  |-  ( ( g `  b )  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4644, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4746imbi2d 314 . . . 4  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4843, 47ralbid 2837 . . 3  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4948spcegv 3144 . 2  |-  ( ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
503, 41, 49sylc 59 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   (/)c0 3737   <.cop 3977    |-> cmpt 4452    _I cid 4732   Oncon0 4821    X. cxp 4940   `'ccnv 4941   ran crn 4943    |` cres 4944   "cima 4945    o. ccom 4946   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   omcom 6638   1oc1o 7080   2oc2o 7081    +o coa 7084    .o comu 7085    ^o coe 7086    ^m cmap 7377   Fincfn 7474   CNF ccnf 8030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-seqom 7070  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-oexp 7093  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-oi 7889  df-cnf 8031
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