Theorem infxpenc2lem2 8298

Description: Lemma for infxpenc2 8300. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxpenc2.1	|- ( ph -> A e. On )
infxpenc2.2	|- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
infxpenc2.3	|- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
infxpenc2.4	|- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5	|- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
infxpenc2.k	|- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
infxpenc2.h	|- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
infxpenc2.l	|- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
infxpenc2.x	|- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
infxpenc2.y	|- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
infxpenc2.j	|- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
infxpenc2.z	|- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
infxpenc2.t	|- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
infxpenc2.g	|- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2lem2	|- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Distinct variable groups:   g, b, n, w, x, y, A   ph, b, w, x, y   z, g, W, w, x, y   g, F, x, y   g, G   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g, n)   A( z)   T( x, y, z, w, g, n, b)   F( z, w, n, b)   G( x, y, z, w, n, b)   H( x, y, z, w, g, n, b)   J( x, y, z, w, g, n, b)   K( x, y, z, w, g, n, b)   L( x, y, z, w, g, n, b)   W( n, b)   X( z, w, g, n, b)   Y( z, w, g, n, b)   Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpenc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
2		mptexg 6057	. . 3 |- ( A e. On -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
4	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> A e. On )
5		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. A )
6		onelon 4853	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> b e. On )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. On )
8		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> om C_ b )
9		infxpenc2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
10		infxpenc2.3	. . . . . . . 8 |- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
11	1, 9, 10	infxpenc2lem1 8297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
12	11	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> W e. ( On \ 1o ) )
13		infxpenc2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
14	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
15		infxpenc2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( F ` (/) ) = (/) )
17	11	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
18		infxpenc2.k	. . . . . 6 |- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
19		infxpenc2.h	. . . . . 6 |- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
20		infxpenc2.l	. . . . . 6 |- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
21		infxpenc2.x	. . . . . 6 |- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
22		infxpenc2.y	. . . . . 6 |- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
23		infxpenc2.j	. . . . . 6 |- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
24		infxpenc2.z	. . . . . 6 |- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
25		infxpenc2.t	. . . . . 6 |- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
26		infxpenc2.g	. . . . . 6 |- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )
27	7, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	infxpenc 8296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
28		f1of 5750	. . . . . . . . 9 |- ( G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b -> G : ( b X. b ) --> b )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) --> b )
30		vex 3081	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
31	30, 30	xpex 6619	. . . . . . . 8 |- ( b X. b ) e. _V
32		fex 6060	. . . . . . . 8 |- ( ( G : ( b X. b ) --> b /\ ( b X. b ) e. _V ) -> G e. _V )
33	29, 31, 32	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G e. _V )
34		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( b e. A |-> G ) = ( b e. A |-> G )
35	34	fvmpt2 5891	. . . . . . 7 |- ( ( b e. A /\ G e. _V ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
36	5, 33, 35	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
37		f1oeq1 5741	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
39	27, 38	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
40	39	expr 615	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
41	40	ralrimiva 2830	. 2 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
42		nfmpt1 4490	. . . . 5 |- F/_ b ( b e. A |-> G )
43	42	nfeq2 2633	. . . 4 |- F/ b g = ( b e. A |-> G )
44		fveq1 5799	. . . . . 6 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) )
45		f1oeq1 5741	. . . . . 6 |- ( ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
46	44, 45	syl 16	. . . . 5 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
47	46	imbi2d 316	. . . 4 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
48	43, 47	ralbid 2843	. . 3 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
49	48	spcegv 3164	. 2 |- ( ( b e. A |-> G ) e. _V -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
50	3, 41, 49	sylc 60	1 |- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078   \ cdif 3434   C_ wss 3437   (/)c0 3746   <.cop 3992   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4459   _I cid 4740   Oncon0 4828   X. cxp 4947   `'ccnv 4948   ran crn 4950   |` cres 4951   o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   |-> cmpt2 6203   omcom 6587   1oc1o 7024   2oc2o 7025   +o coa 7028   .o comu 7029   ^o coe 7030   ^m cmap 7325   finSupp cfsupp 7732   CNF ccnf 7979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-seqom 7014  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-oexp 7037  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-cnf 7980

This theorem is referenced by:  infxpenc2lem3  8299