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Theorem infxpenc2lem2 8298
Description: Lemma for infxpenc2 8300. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpenc2.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' (  _I  |`  W ) ) ) )
infxpenc2.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpenc2.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  x finSupp  (/)
}  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  (
y  o.  `' ( Y  o.  `' X
) ) ) )
infxpenc2.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpenc2.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpenc2.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpenc2.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpenc2.t  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
infxpenc2.g  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem2  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, y, A    ph, b, w, x, y   
z, g, W, w, x, y    g, F, x, y    g, G   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, g, n)    A( z)    T( x, y, z, w, g, n, b)    F( z, w, n, b)    G( x, y, z, w, n, b)    H( x, y, z, w, g, n, b)    J( x, y, z, w, g, n, b)    K( x, y, z, w, g, n, b)    L( x, y, z, w, g, n, b)    W( n, b)    X( z, w, g, n, b)    Y( z, w, g, n, b)    Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 mptexg 6057 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
41adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  A  e.  On )
5 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  A )
6 onelon 4853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  On )
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  On )
8 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  om  C_  b
)
9 infxpenc2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
10 infxpenc2.3 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
111, 9, 10infxpenc2lem1 8297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
1211simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
13 infxpenc2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  F : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )
15 infxpenc2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1711simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
18 infxpenc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  x finSupp  (/) }  |->  ( F  o.  ( y  o.  `' (  _I  |`  W ) ) ) )
19 infxpenc2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
20 infxpenc2.l . . . . . 6  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  x finSupp  (/)
}  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  (
y  o.  `' ( Y  o.  `' X
) ) ) )
21 infxpenc2.x . . . . . 6  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
22 infxpenc2.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
23 infxpenc2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
24 infxpenc2.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
25 infxpenc2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
26 infxpenc2.g . . . . . 6  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
277, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26infxpenc 8296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
28 f1of 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  ->  G :
( b  X.  b
) --> b )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) --> b )
30 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3130, 30xpex 6619 . . . . . . . 8  |-  ( b  X.  b )  e. 
_V
32 fex 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( b  X.  b ) --> b  /\  ( b  X.  b )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
3329, 31, 32sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G  e.  _V )
34 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  A  |->  G )  =  ( b  e.  A  |->  G )
3534fvmpt2 5891 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  A  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b )  =  G )
365, 33, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G )
37 f1oeq1 5741 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G  -> 
( ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b 
<->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3927, 38mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
4039expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4140ralrimiva 2830 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
42 nfmpt1 4490 . . . . 5  |-  F/_ b
( b  e.  A  |->  G )
4342nfeq2 2633 . . . 4  |-  F/ b  g  =  ( b  e.  A  |->  G )
44 fveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( g `  b
)  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) )
45 f1oeq1 5741 . . . . . 6  |-  ( ( g `  b )  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4644, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4746imbi2d 316 . . . 4  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4843, 47ralbid 2843 . . 3  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4948spcegv 3164 . 2  |-  ( ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
503, 41, 49sylc 60 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    C_ wss 3437   (/)c0 3746   <.cop 3992   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459    _I cid 4740   Oncon0 4828    X. cxp 4947   `'ccnv 4948   ran crn 4950    |` cres 4951    o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   omcom 6587   1oc1o 7024   2oc2o 7025    +o coa 7028    .o comu 7029    ^o coe 7030    ^m cmap 7325   finSupp cfsupp 7732   CNF ccnf 7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-seqom 7014  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-oexp 7037  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-cnf 7980
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem3  8299
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