Theorem infxpenc2lem2 8414

Description: Lemma for infxpenc2 8416. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxpenc2.1	|- ( ph -> A e. On )
infxpenc2.2	|- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
infxpenc2.3	|- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
infxpenc2.4	|- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5	|- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
infxpenc2.k	|- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
infxpenc2.h	|- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
infxpenc2.l	|- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
infxpenc2.x	|- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
infxpenc2.y	|- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
infxpenc2.j	|- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
infxpenc2.z	|- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
infxpenc2.t	|- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
infxpenc2.g	|- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2lem2	|- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Distinct variable groups:   g, b, n, w, x, y, A   ph, b, w, x, y   z, g, W, w, x, y   g, F, x, y   g, G   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g, n)   A( z)   T( x, y, z, w, g, n, b)   F( z, w, n, b)   G( x, y, z, w, n, b)   H( x, y, z, w, g, n, b)   J( x, y, z, w, g, n, b)   K( x, y, z, w, g, n, b)   L( x, y, z, w, g, n, b)   W( n, b)   X( z, w, g, n, b)   Y( z, w, g, n, b)   Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpenc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
2		mptexg 6143	. . 3 |- ( A e. On -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
4	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> A e. On )
5		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. A )
6		onelon 4912	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> b e. On )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. On )
8		simprr 757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> om C_ b )
9		infxpenc2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
10		infxpenc2.3	. . . . . . . 8 |- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
11	1, 9, 10	infxpenc2lem1 8413	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
12	11	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> W e. ( On \ 1o ) )
13		infxpenc2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
14	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
15		infxpenc2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( F ` (/) ) = (/) )
17	11	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
18		infxpenc2.k	. . . . . 6 |- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
19		infxpenc2.h	. . . . . 6 |- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
20		infxpenc2.l	. . . . . 6 |- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
21		infxpenc2.x	. . . . . 6 |- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
22		infxpenc2.y	. . . . . 6 |- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
23		infxpenc2.j	. . . . . 6 |- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
24		infxpenc2.z	. . . . . 6 |- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
25		infxpenc2.t	. . . . . 6 |- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
26		infxpenc2.g	. . . . . 6 |- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )
27	7, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	infxpenc 8412	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
28		f1of 5822	. . . . . . . . 9 |- ( G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b -> G : ( b X. b ) --> b )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) --> b )
30		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
31	30, 30	xpex 6603	. . . . . . . 8 |- ( b X. b ) e. _V
32		fex 6146	. . . . . . . 8 |- ( ( G : ( b X. b ) --> b /\ ( b X. b ) e. _V ) -> G e. _V )
33	29, 31, 32	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G e. _V )
34		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( b e. A |-> G ) = ( b e. A |-> G )
35	34	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( b e. A /\ G e. _V ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
36	5, 33, 35	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
37		f1oeq1 5813	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
39	27, 38	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
40	39	expr 615	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
41	40	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
42		nfmpt1 4546	. . . . 5 |- F/_ b ( b e. A |-> G )
43	42	nfeq2 2636	. . . 4 |- F/ b g = ( b e. A |-> G )
44		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) )
45		f1oeq1 5813	. . . . . 6 |- ( ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
46	44, 45	syl 16	. . . . 5 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
47	46	imbi2d 316	. . . 4 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
48	43, 47	ralbid 2891	. . 3 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
49	48	spcegv 3195	. 2 |- ( ( b e. A |-> G ) e. _V -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
50	3, 41, 49	sylc 60	1 |- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3793   <.cop 4038   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   Oncon0 4887   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   |` cres 5010   o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   omcom 6699   1oc1o 7141   2oc2o 7142   +o coa 7145   .o comu 7146   ^o coe 7147   ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847   CNF ccnf 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096

This theorem is referenced by:  infxpenc2lem3  8415