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Theorem infxpenc2lem1 8408
Description: Lemma for infxpenc2 8411. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Distinct variable groups:    n, b, w, x, A    ph, b, w, x    w, W, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
21r19.21bi 2836 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
32impr 619 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
4 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5 infxpenc2.3 . . . . . 6  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
6 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  w
) )
7 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) )  =  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) )
8 ovex 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( om 
^o  w )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( On  \  1o )  ->  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
109ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
11 f1ofo 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
1211ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
13 forn 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n `  b ) : b -onto-> ( om 
^o  w )  ->  ran  ( n `  b
)  =  ( om 
^o  w ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ran  ( n `
 b )  =  ( om  ^o  w
) )
1510, 14eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `
 b ) )
16 ovex 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om 
^o  x )  e. 
_V
1716a1ii 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  ( om  ^o  x )  e.  _V ) )
18 omelon 8075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
19 1onn 7300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
20 ondif2 7164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
2118, 19, 20mpbir2an 918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  ( On  \  2o )
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
23 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  x  e.  On )
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
25 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( On  \  1o )  ->  y  e.  On )
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  y  e.  On )
27 oecan 7250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( om  ^o  x
)  =  ( om 
^o  y )  <->  x  =  y ) )
2822, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  ( ( om 
^o  x )  =  ( om  ^o  y
)  <->  x  =  y
) )
2928ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  y )  <-> 
x  =  y ) ) )
3017, 29dom2lem 7567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o ) -1-1-> _V )
31 f1f1orn 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On 
\  1o ) -1-1-> _V  ->  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o )
-1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
33 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  w  e.  ( On  \  1o ) )
34 f1ocnvfv 6183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (
( ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `  b
)  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w ) )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) `  w
)  =  ran  (
n `  b )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )  =  w ) )
3615, 35mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w )
375, 36syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  W  =  w )
3837eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o ) 
<->  w  e.  ( On 
\  1o ) ) )
3937oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w ) )
40 f1oeq3 5815 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4238, 41anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  <->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
434, 42mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
443, 43rexlimddv 2963 1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481    |-> cmpt 4511   Oncon0 4884   `'ccnv 5004   ran crn 5006   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695   1oc1o 7135   2oc2o 7136    ^o coe 7141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-oexp 7148
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  8409  infxpenc2lem2OLD  8413
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