Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2OLD Structured version   Unicode version

Theorem infxpenc2OLD 8420
 Description: Existence form of infxpencOLD 8417. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 8409, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc2 8416 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2OLD
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infxpenc2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3cOLD 8175 . 2
2 df-2o 7149 . . . . . . . 8
32oveq2i 6307 . . . . . . 7
4 omelon 8080 . . . . . . . 8
5 1on 7155 . . . . . . . 8
6 oesuc 7195 . . . . . . . 8
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . . 7
8 oe1 7211 . . . . . . . . 9
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8
109oveq1i 6306 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtri 2490 . . . . . 6
12 omxpen 7638 . . . . . . 7
134, 4, 12mp2an 672 . . . . . 6
1411, 13eqbrtri 4475 . . . . 5
15 xpomen 8410 . . . . 5
1614, 15entri 7588 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 bren 7544 . . 3
1917, 18sylib 196 . 2
20 eeanv 1989 . . 3
21 simpl 457 . . . . . 6
22 simprl 756 . . . . . . 7
23 sseq2 3521 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
25 f1oeq3 5815 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13
29 f1oeq1 5813 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 f1oeq2 5814 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10
3427, 33syl5bb 257 . . . . . . . . 9
3523, 34imbi12d 320 . . . . . . . 8
3635cbvralv 3084 . . . . . . 7
3722, 36sylib 196 . . . . . 6
38 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
3938cbvmptv 4548 . . . . . . . 8
4039cnveqi 5187 . . . . . . 7
4140fveq1i 5873 . . . . . 6
42 2on 7156 . . . . . . . . . 10
43 peano1 6718 . . . . . . . . . . 11
44 oen0 7253 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . . . 10
464, 42, 45mp2an 672 . . . . . . . . 9
47 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
4847fveqf1o 6206 . . . . . . . . 9
4946, 43, 48mp3an23 1316 . . . . . . . 8
5049ad2antll 728 . . . . . . 7
5150simpld 459 . . . . . 6
5250simprd 463 . . . . . 6
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3OLD 8419 . . . . 5
5453ex 434 . . . 4
5554exlimdvv 1726 . . 3
5620, 55syl5bir 218 . 2
571, 19, 56mp2and 679 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   cdif 3468   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cpr 4034  cop 4038   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cid 4799  con0 4887   csuc 4889   cxp 5006  ccnv 5007   crn 5009   cres 5010   ccom 5012  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  com 6699  c1o 7141  c2o 7142   comu 7146   coe 7147   cen 7532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096  df-card 8337 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator