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Theorem infxpenc2OLD 8190
Description: Existence form of infxpencOLD 8187. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 8179, asserting the existence of a single function  g that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc2 8186 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2OLD  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable group:    g, b, A

Proof of Theorem infxpenc2OLD
Dummy variables  f  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3cOLD 7945 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
2 df-2o 6919 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
32oveq2i 6100 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  ^o  suc  1o )
4 omelon 7850 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
5 1on 6925 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
6 oesuc 6965 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  1o )  =  ( ( om  ^o  1o )  .o  om ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  suc  1o )  =  ( ( om 
^o  1o )  .o 
om )
8 oe1 6981 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
109oveq1i 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  1o )  .o  om )  =  ( om  .o  om )
113, 7, 103eqtri 2465 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  .o  om )
12 omxpen 7411 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( om  .o  om )  ~~  ( om  X.  om ) )
134, 4, 12mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( om 
.o  om )  ~~  ( om  X.  om )
1411, 13eqbrtri 4309 . . . . 5  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  ( om  X.  om )
15 xpomen 8180 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
1614, 15entri 7361 . . . 4  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  om
1716a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  ^o  2o )  ~~  om )
18 bren 7317 . . 3  |-  ( ( om  ^o  2o ) 
~~  om  <->  E. f  f : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
1917, 18sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
20 eeanv 1932 . . 3  |-  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  <->  ( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  E. f  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )
21 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A  e.  On )
22 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
23 sseq2 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  b
) )
24 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w
) )
25 f1oeq3 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2726cbvrexv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )
28 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
n `  x )  =  ( n `  b ) )
29 f1oeq1 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n `  x )  =  ( n `  b )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
31 f1oeq2 5631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  b
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3230, 31bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3332rexbidv 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3427, 33syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3523, 34imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
3635cbvralv 2945 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3722, 36sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
38 oveq2 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  z  ->  ( om  ^o  b )  =  ( om  ^o  z
) )
3938cbvmptv 4381 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  b ) )  =  ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4039cnveqi 5012 . . . . . . 7  |-  `' ( b  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  b ) )  =  `' ( z  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4140fveq1i 5690 . . . . . 6  |-  ( `' ( b  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  b
) ) `  ran  ( n `  b
) )  =  ( `' ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) ) `  ran  ( n `  b
) )
42 2on 6926 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
43 peano1 6493 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
44 oen0 7023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  (/) 
e.  ( om  ^o  2o ) )
464, 42, 45mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( om  ^o  2o )
47 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )  =  ( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )
4847fveqf1o 5998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om  /\  (/) 
e.  ( om  ^o  2o )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
4946, 43, 48mp3an23 1306 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om  ->  ( (
f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5049ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5150simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
5250simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) )
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3OLD 8189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
5453ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5554exlimdvv 1691 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5620, 55syl5bir 218 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  /\  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
571, 19, 56mp2and 679 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3323    u. cun 3324    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {cpr 3877   <.cop 3881   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348    _I cid 4629   Oncon0 4717   suc csuc 4719    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   ran crn 4839    |` cres 4840    o. ccom 4842   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   omcom 6474   1oc1o 6911   2oc2o 6912    .o comu 6916    ^o coe 6917    ~~ cen 7305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-seqom 6901  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-oexp 6924  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-oi 7722  df-cnf 7866  df-card 8107
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