Theorem infxp 8841

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. _V
infunabs.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
infxp	|- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infunabs.2	. . 3 |- B e. _V
2		infunabs.1	. . 3 |- A e. _V
3		entri3 5992	. . 3 |- ((B e. _V /\ A e. _V) -> (B ~<_ A \/ A ~<_ B))
4	1, 2, 3	mp2an 761	. 2 |- (B ~<_ A \/ A ~<_ B)
5	2, 1	infxpabs 8839	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ A)
6	5	3expa 1067	. . . . 5 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ A)
7	2, 1	infunabs 8834	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)
8	2	ensym 5471	. . . . . . 7 |- ((A u. B) ~~ A -> A ~~ (A u. B))
9	7, 8	syl 12	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> A ~~ (A u. B))
10	9	adantlr 429	. . . . 5 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> A ~~ (A u. B))
11		entr 5473	. . . . 5 |- (((A X. B) ~~ A /\ A ~~ (A u. B)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
12	6, 10, 11	syl11anc 524	. . . 4 |- (((om ~<_ A /\ B =/= (/)) /\ B ~<_ A) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
13	12	ex 402	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (B ~<_ A -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
14		domtr 5474	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> om ~<_ B)
15	2	infn0 5626	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
16	15	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> A =/= (/))
17		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> A ~<_ B)
18	14, 16, 17	3jca 1050	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B))
19	1, 2	infxpabs 8839	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> (B X. A) ~~ B)
20	1, 2	infunabs 8834	. . . . . . . . . 10 |- ((om ~<_ B /\ A ~<_ B) -> (B u. A) ~~ B)
21	1	ensym 5471	. . . . . . . . . 10 |- ((B u. A) ~~ B -> B ~~ (B u. A))
22	20, 21	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ B /\ A ~<_ B) -> B ~~ (B u. A))
23	22	3adant2 895	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> B ~~ (B u. A))
24		entr 5473	. . . . . . . 8 |- (((B X. A) ~~ B /\ B ~~ (B u. A)) -> (B X. A) ~~ (B u. A))
25	19, 23, 24	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ B /\ A =/= (/) /\ A ~<_ B) -> (B X. A) ~~ (B u. A))
26	2, 1	xpcomen 5498	. . . . . . . 8 |- (A X. B) ~~ (B X. A)
27		entr 5473	. . . . . . . 8 |- (((A X. B) ~~ (B X. A) /\ (B X. A) ~~ (B u. A)) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
28	26, 27	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((B X. A) ~~ (B u. A) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
29	18, 25, 28	3syl 24	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (B u. A))
30		uncom 2744	. . . . . 6 |- (B u. A) = (A u. B)
31	29, 30	syl6breq 3376	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (A u. B))
32	31	ex 402	. . . 4 |- (om ~<_ A -> (A ~<_ B -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
33	32	adantr 425	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A ~<_ B -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
34	13, 33	jaod 469	. 2 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> ((B ~<_ A \/ A ~<_ B) -> (A X. B) ~~ (A u. B)))
35	4, 34	mpi 55	1 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   u. cun 2591  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  omcom 3949   X. cxp 3984   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  alephmul 8852  infxpg 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-card 5862  df-cda 6066  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain